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#1 12-10-2021 22:09:45
- pentium mix
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homomorphisme de Q dans Q*
Bonsoir
Je voudrais montrer que Hom( (Q,+); (Q*,×)) est presque trivial.
Lorsque je considéré f un morphisme de Q dans Q* alors pour tout rationnel a et b on a f(a+b)= f(a)f(b)
Comme a et b rationnelle il existe p,q,r,s entier tel que a=p/q et b=r/s
Donc f(p/q + r/s) =f(p/q)+ f(r/s)
Or f(p/q)=pf(1/q) f(r/s)=rf(1/s)
f(p/q +r/s)=(ps+rq)f(1/pq)
Après ça je ne sais pas comment continuer
Merci d'avance
Dernière modification par pentium mix (12-10-2021 22:14:14)
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#2 13-10-2021 10:21:43
- Paco del Rey
- Invité
Re : homomorphisme de Q dans Q*
Bonjour.
Suppose qu'il existe $r\in\mathbb Q$ tel que $f(r) = 2$.
Que peux-tu dire de $f(r/2)$ ?
Paco.
#3 14-10-2021 10:19:35
- bridgslam
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- Messages : 1 302
Re : homomorphisme de Q dans Q*
Bonjour,
Tu dois montrer que si f existe, par analyse synthèse :
[tex]\forall r \in \mathbb{Q} \; f(r) = f(1)^r[/tex] (pas dur).
Ensuite f(1) > 0 car c'est un carré.
Idée: calculer [tex]f(1/2+1/2)[/tex]
Mais par ailleurs en notant [tex]a[/tex] le rationnel positif f(1) , on a [tex]\forall n \in \mathbb{N}^* \; a^{1/n} \in \mathbb{Q}^*[/tex]
On peut montrer (si on veut faire les choses à fond, car cela paraît plutôt normal ) qu'alors on a nécessairement f(1) = 1.
Synthèse:
Un tel morphisme est l'application constante 1.
Dernière modification par bridgslam (16-10-2021 16:03:09)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#4 16-10-2021 10:48:05
- pentium mix
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Re : homomorphisme de Q dans Q*
Merci beaucoup
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