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passant

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Probabilités. Définition de l'univers.

Bonsoir,

Ce n'est pas optionnel.
On n'est pas des sauvages !
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En faisant l'exercice 2.6 du site Braise:

"On dispose de n boules (n≥5) que l’on dépose successivement dans trois urnes, de façon aléatoire."

Je définis l'univers comme l'ensemble des triplets (u1, u2, u3) tels que u1+u2+u3 = n.

Et si mon calcul est juste je trouve (n+1)(n+2)/2

Pourtant mon raisonnement est faux, la vraie solution considère l'ensemble des applications de {n boules} vers les 3 urnes.

Et donc le cardinal de l'univers est 3^n

Ce qui m'interroge c'est à quel endroit j'ai fait une erreur de raisonnement.

Pourtant rien n'indiquait dans l'énoncé que les boules étaient discernables. Il était vraiment abusif de considérer que le processus aléatoire pouvait se ramener à la constitution de trois tas ?
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Merci
Ce n'est pas optionnel non plus.
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Message édité par :
      Yoshi
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Dernière modification par yoshi (01-06-2021 20:34:36)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Probabilités. Définition de l'univers.

Bonsoir,

A qui voudra bien répondre, l'énoncé complet
(Site Braise - Exercice 2.6) est :

Enoncé : On dispose de n boules (n ≥ 5) que l’on dépose successivement dans trois urnes, de façon aléatoire.

Quelle est la probabilité qu’aucune des urnes ne contienne n − 2 boules ou d’avantage ?

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Braise <---> Breizh
Sont forts les bretons...

@+

Fred

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Re : Probabilités. Définition de l'univers.

Bonjour,

L'énoncé complet (disponible ici) est le suivant :

On dispose de n boules (n≥5) que l’on dépose successivement dans trois urnes, de façon aléatoire.

Quelle est probabilité qu’aucune des urnes ne contienne n−2 boules ou d’avantage ?

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Ce qu'on peut retenir, lors d'un exercice de probabilité, c'est qu'il n'y a pas un unique univers associé à une expérience. Plusieurs univers peuvent correspondre à la même expérience, mais ils ne seront pas forcément muni de la même probabilité.

Voici un exemple : on lance deux dés. Il y a deux univers "naturels" (au moins!) associés à cette expérience.
* si on considère que les deux dés sont discernables, par exemple parce qu'il y a un rouge et un bleu, on peut choisir comme univers l'ensemble des couples $(i,j)$ avec $1\leq i\leq 6$ et $1\leq j\leq 6$. $\Omega$ contient alors 36 éléments, et le modèle associé est celui de l'équiprobabilité.
* si on considère que les deux dés ne sont pas discernables, alors on peut choisir comme univers associé l'ensemble des couples $(i,j)$ où $1\leq i\leq j\leq 6$ (on relève d'abord le plus petit numéro apparaissant sur les dés, puis le plus grand). Mais dans ce cas, le modèle associé n'est pas le modèle équiprobable. En effet, on ne peut pas avoir $P((1,1))=P((1,2))$ puisque (en pensant au modèle des deux dés discernables), deux types de lancers amènent $(1,2)$, alors qu'un seul type de lancer amène $(1,1)$.

Dans l'exercice qui te concerne, l'univers que tu proposes est tout à fait correct, mais il n'est pas muni de l'équiprobabilité. En effet,
l'événement élémentaire $(n,0,0)$ est bien moins probable que l'événement $(n/3,n/3,n/3)$ (en supposant $n$ multiples de 3). Le premier ne correspond qu'à un déroulement possible de l'expérience, le second à de nombreux déroulements possibles.

Souvent, le "meilleur" choix de l'univers est celui qui amène les calculs les plus faciles. Et souvent, cela correspond à prendre un "gros" univers, comme pour les lancers de deux dés ou pour ton exo, à condition qu'il soit muni de l'équiprobabilité.

F.

passant

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Re : Probabilités. Définition de l'univers.

Bonsoir, 

La piste de l'équiprobabilité me donne la clé du problème, je vais refaire l'exercice étape par étape, univers, évènement, probabilité ...

Sur une vidéo Youtube à 19 minutes, j'étais déjà tombé (aléatoirement) sur un cas du même type, particulièrement perturbant quand on débute :)

Donc Merci.