Forum de mathématiques - Bibm@th.net

PetitPanda

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Résolution d'équation différentielle

Bonjour à tous!
J'essaye de démontrer que les solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega² y =0$ sont de la forme $y(x) = \lambda cos(\omega x) + \mu sin(wx)$
Je suis passée par le polynôme caractéristique et je tombe sur $y(x) = Ae^{i\omega x} + Be^{-i\omega x}$ mais je n'arrive pas à retrouver la forme trigonométrique (j'ai essayé de développer via la formule d'Euler, mais je m'y prends mal je pense).

Merci d'avance pour votre aide! :D

Jyg

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Re : Résolution d'équation différentielle

Bonjour
il suffit de se rappeler que  exp (it) = cost + i sint. Donc l'exp sera transformée en sin et cos.

PetitPanda

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Re : Résolution d'équation différentielle

Bonjour, merci pour votre réponse.
C'est ce que j'ai essayé de faire mais en développant je tombe sur $y(x)=(A+B)cos(\omega x) + i(B-A)sin(\omega x)$. Il reste toujours ce $i$ et je ne sais pas comment l'enlever, puisque $\lambda$ et $\mu$ sont censées être réelles.

Zebulor

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Re : Résolution d'équation différentielle

Bonjour,

Je suis passée par le polynôme caractéristique et je tombe sur $y(x) = Ae^{i\omega x} + Be^{-i\omega x}$

Et tu tombes bien. C'est le cas $\Delta \lt 0$ pour lequel on s'intéresse aux solutions réelles, ce qui est sous entendu dans ta demande initiale.

$e^{i\omega}$ et $e^{-i\omega}$ sont des fonctions à valeurs complexes de $x$ solutions de ton équation de départ. Et les combinaisons linéaires de ces deux fonctions restent des solutions à valeurs complexes... et à bien y réfléchir $A$ et $B$ sont dans $\mathbb C$ si je ne m'abuse ce qui rend le problème plus compliqué qu'il peut n'y paraître à première vue.

On peut alors me semble t il :
1)chercher à quelle condition $y(x)$ est réelle..

Si $y(x)$ est réel, alors $Im(y(x))$ est nulle pour tout $x$.. et tu peux en particulier examiner les cas $x=0$ et $x=\frac {\pi}{2\omega}$.

Ce qui te donne une relation intéressante entre les parties réelles et imaginaires de $A$ et $B$..

2)Substituer B par ce que tu as trouvé au 1) dans l'expression de $y(x)$ et poser $\lambda=2Re(A)$ et $\mu=-2Im(A)$

3)Synthèse : vérifier que la fonction obtenue est bien réelle.. c'est le plus facile.

EDIT : je pensais qu'il y avait une autre méthode pour trouver à quelle condition $y(x)$ est réelle mais je pense avoir écrit des c.... que j'ai donc effacées.
Celà étant tu peux toujours écrire $A$ et $B$ sous la forme : partie réelle + i * partie imaginaire dans $y(x)=(A+B)cos(\omega x) + i(A-B)sin(\omega x)$ et tu obtiens le même résultat qu'au 1)

Dernière modification par Zebulor (27-05-2021 10:58:01)

PetitPanda

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Re : Résolution d'équation différentielle

Merci beaucoup pour votre réponse!