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Lasserre

Invité

Formule de cauchy - Help

Bonjour !

Dans le cadre de mon TIPE je me suis intéressée à la formule de Riemann-Liouville, qui est une généralisation de la formule de Cauchy qui exprime l'intégrale entière d'ordre n.
La formule de Cauchy est la suivante :
[tex]I ^{n} _{t_{0}} f(t)= \frac{1}{(n-1)!} \int_{t_{0}}^{t}(t-\tau)^{n-1} f(\tau) \, \mathrm{d}\tau [/tex]

Avez-vous une idée de comment démontrer cette formule? Ou avez-vous des pistes ?

Merci beaucoup !

Fred

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Re : Formule de cauchy - Help

Bonjour,

  Quelle est la signification de $I_{t_0}^n f(t)$???

F.

JJ

Membre

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Re : Formule de cauchy - Help

Bonjour,
Parmi les pistes, ceci est en relation étroite avec la "dérivation fractionnaire" dont il existe une vaste littérature.
Quelques références dans : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_fractionnaire
Un article de vulgarisation : https://fr.scribd.com/doc/14686539/The- … ctionnaire

Roro

Membre expert

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Re : Formule de cauchy - Help

Bonjour,

Ce que je comprends à demi mot dans la réponse de Fred, c'est que la formule qu'il est demandé de "prouver" est peut être la "définition" de $I^n_{t_0}f$... auquel cas la question n'a pas de sens.

Roro.

Dernière modification par Roro (19-05-2021 14:06:08)

bridgslam

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Re : Formule de cauchy - Help

Bonjour,

Si je comprends bien la question, il s'agit de montrer que la dérivée d'un [tex]I^n[/tex] doit donner [tex]I^{n-1}[/tex].
Cela doit être faisable par intégration par partie.
En procédant par récurrence cela doit montrer la relation ( qui est celle obtenue en revenant jusqu'à f en bout de course).

Cela doit marcher puisque wikipédia nous dit que cette formule donne une primitive n-ième de f au moyen d'une ( seule ) intégration.
Le coefficient factoriel doit permettre d'arranger l'expression pour une étape élémentaire.

Alain

Fred

Administrateur

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Re : Formule de cauchy - Help

Re-

   A la lecture de vos réponses, je pense avoir compris : $I_{t_0}^n f$ est la fonction $F$, $n$-fois dérivable, et telle que $F^{(n)}=f$, et $F(t_0)=F'(t_0)=\cdots=F^{(n-1)}(t_0)=0$. Dans ce cas, la formule demandée est plus ou moins la formule de Taylor avec reste intégral, non? (dont la démonstration se fait par récurrence).

F.