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Merci beauoup Yassine.

Pardon pour la réponse tardive. Je pense qu'il y a une erreur dans le raisonnement pour trouver le support de [tex]\psi_0.[/tex]
Vous avez considéré que [tex]K'_i[/tex] sont des compacts, or que non, se sont des ouverts. Comment on fait dans ce cas? S'il vous plaît.

Bonjour,
ce raisonnement est dans [tex]\mathbb{R}[/tex], mais nous on est dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Comment on fait le raisonnement dans ce cas?

Bonsoir,
je pense qu'il y a une erreur. Puisque [tex]\theta \in \mathcal{D}(V)[/tex] alors on a justement pas [tex]\forall x \in V, \varphi(x)=0[/tex].
Je pense qu'on a [tex]C V \subset Supp \varphi [/tex], mais après je ne sais pas pourquoi il n'est pas borné

1. Fred a dit qu'on utilise le fait que le support soit inclus dans un intervalle [tex][-R,R][/tex] seulement dans les calculs. Je suis un peu perdue sur ce point. Pourquoi vous supposé cette inclusion? Et si le support est une réunion de deux compact? Cette inclusion n'est plus possile dans ce cas.

2. Je ne comprend pas pourquoi vous faite ce changement de variables, puisqu'on a directement que
[tex]
\lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\varphi(x+\epsilon) - \varphi(x)}{\epsilon}= \varphi'(x).
[/tex]
Non?
Dans ce cas s'il vous plaît, que dire du support de [tex]\varphi'(x)[/tex]?
Je vous remercie par avance.

Pardon, quel est le lien entre: le support de la fonction, la dérivabilité ou la continuité et la bornitude de [tex]\Omega[/tex]?

Oui, ce point est clair. Mais quel est le problème si [tex]\Omega[/tex] était [tex][-1,1][/tex]?
Je vous remercie pour votre aide.

Est-ce qu'il y a un exemple s'il vous plaît qui montre que les fonctions testes doivent être définies sur un ouvert non vide? Pourquoi il faut impérativement que ce soit un ouvert?
Merci par avance pour votre aide.

Et pour la fonction test suivante (j'écris les étapes de sa construction).
Soit [tex](\Omega_j)[/tex] des ouverts et soit [tex]K[/tex] un compact t.q [tex]K  \subset \cup_{i=1}^n \Omega_i[/tex]. D'après un théorème, il existe des compacts [tex](K_i)_{i=1,...,n}[/tex] t.q [tex]K_i \subset \Omega_i[/tex] et [tex]K \subset \cup_{i=1}^n K_i[/tex], et d'après un résultat déduit d'Urysohn,
[tex]\exists \psi_i \in \mathcal{D}(\Omega_i): 0 \leq \psi_i \leq 1[/tex] et [tex]\psi_i=1[/tex] au voisinage [tex]K'_i[/tex] de [tex]K_i[/tex] (on prend ce voisinage ouvert)
On pose [tex]V= \cup_{i=1}^n K'_i[/tex] qui est un voisinage de [tex]K[/tex] On remarque que [tex]\sum_{i=1}^n \psi_i >0[/tex] sur [tex]V.[/tex]
On applique encore une fois le résultat déduit d'Urysohn, et on dit
[tex]\exists \theta \in \mathcal{D}(V): 0 \leq \theta \leq 1[/tex] et [tex]\theta=1[/tex] au voisinage [tex]W[/tex] de [tex]K.[/tex]
On pose
[tex]
\psi_0(x)= 1- \theta(x)=
\begin{cases}
1 &x \in C V\\
0: & x \in W
\end{cases}
[/tex]
Ma question est comment savoir si [tex]\psi_0[/tex] est une fonction test ou non?
Je vous remercie pour votre aide.

C'est bien compris. Merci beaucoup!

Ok. Alors
le quotient de deux fonctions de classe [tex]C^\infty[/tex] est directement de classe [tex]C^\infty[/tex], et [tex]Supp f_0= Supp g = [-1,1].[/tex]
C'est bon?
Merci beaucoup.

C'est bien compris. Merci beaucoup.
Si je prend maintenant la suite [tex]\eta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(nx), n \geq 1,[/tex] avec [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
On pose [tex]Supp \varphi = K[/tex]. Comment écrire le support de la suite [tex]\eta_n[/tex]? Est-ce qu'on utilise un intervalle? Je suis un peu perdue.
Je vous remercie pour votre aide.