Forum de mathématiques - Bibm@th.net

A défaut de démontrer, je confirme si n=2, avec un arrangement "CFC", on peut en mettre 18.

Je te conseille d'essayer de démontrer la contraposée :
Quel est intervalle $I = ]a,b[ \in \mathbb R $ tel que pour tout $(t,x) \in [1,6]\times I, \sin{(tx\sqrt{2})} - 2 \cos{(3x-t)} = 0$?
Le but est de démontrer que $I$ n'existe pas.

A toi de faire le reste : écris tes calculs.

Ce qu'il a fait c'est qu'il a exhibé une formule de translation pour un point : tu prend un point initial $A=(x_A,y_A)$, tu te donnes un vecteur directeur de propagation $V$ alors pour tout $t$, $A+tV$ est un translaté de $A$.

Si tu veux passer par $B=(x_B,y_B)$ alors obligatoirement $V=\vec{AB} = c(x_B-x_A,y_B-y_A)$ où $c$ est une constante réelle non nulle. Les deux choix qu'il te proposent est que tu peux choisir de prendre $\vec{AB}$ tel que $c = 1$, et alors tu sera en A quand $t=0$, et en B quand $t=1$.
Ou alors tu peux choisir $c=\dfrac{1}{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}$, et alors tu sera encore en A pour $t=0$, mais il faudra $t=\dfrac{1}{C}$ pour être en B;

La "vitesse" dont il parle semble être la norme $c\vec{AB}$.

Et après, il défini les bords de ton carrée en appliquant cette formule en prenant successivement le point A parmi tes 4 points, et le B par celui qui le suit trigonométriquement.

Le but étant de calculer une intégrale, il l'a découpé en 4 blocs, et sur chacun d'eux tu ne fais varier qu'un paramètre, $t$. Il a choisis de prendre pour chaque bloc $0 \le t \le2$.

Je ne sais pas si ca va t'aider.

Bonjour, avant que nous te répondions, tu pourrais peut-être donner tes pistes de recherches, écrire le travail que tu as déjà fournis, les endroits qui bloquent.
Par exemple, tu pourrais aussi commencer par expliquer ce qui t'amène à te poser cette question.

La parole est à toi.

Oui, ton énoncé est bon. Le mien est plus général, c'est tout :)

Je ne sais pas, on touche à de la projection/cartographie, et je ne connais rien de générique. Désolé pour la question, on aurait pu enrouler sur z, mais ca ne change rien au problème (mathématiquement). Je pense que je vais te laisser, tes questions deviennent trop générales, je ne suis plus d'une grande aide ! ^^'

Désolé, j'avais écris une erreur, le numérateur se termine par -2 et non par -1. Voila qui est corrigé.

Peut tu modifier ton message précèdent afin que les fractions soient correctement représentées ?

Tu as  trouvé $f(x) = \dfrac{-x^2+4x-2}{x-1} = \dfrac{(-x+3)(x-1) +1}{x-1} = -x+3 + \dfrac{1}{x-1}$. C'est bon.
Alors que vaut $ \lim_{x \to 1-} f(x) = 3 - 1 + \lim_{x \to 1-} \dfrac{1}{x-1}= $ ??.
De même que vaut $ \lim_{x \to 1+} f(x) = 3 - 1 + \lim_{x \to 1+} \dfrac{1}{x-1} = $ ??

Merci pour la clarification ! En effet, ce n'était pas la même chose, même si au milieu de mes erreurs j'avais fait ce qu'il fallait (majorer $\phi''$).

$k_1$ est entier arbitraire. J'ai généralisé l'ensemble des zéros de la fonction f. Autrement dit, si tu prend un entier $k$ quelconque, tu sais que $f(x,x/k) = 0$ quelque soit $x$. On peut aussi résonner sur $y$ : si tu prend un entier $k$, alors $f(ky,y) =0$ quelque soit $y$.

Pour le reste je n'ai pas suivi : que veux tu dire par enrouler ? En effet, pour moi f(x,y) est une fonction d'un espace 2D, mais un cylindre de rayon dont l'axe est colinéaire à l'axe des x est une figure géometrique d'un espace 3D.

EDIT :  Peut être veux tu quelque chose de la sorte;
Ce qui suit est le fruit de mon intuition, mais je n'ai rien démontré !

Soit $h(x,y) := y - h_x(x) $ en supposant $h_x$ bijective sur son espace de définition (exemple si $h_x(x) = x$ )
Je peux (pense pouvoir) enrouler h(x,y)=0 sur un cylindre de rayon 1 le long de l'axe x, avec la courbe paramétrique
\[
\left\lbrace
\begin{matrix}
x(t) = h_x^{-1}(t) \\
y(t) = \cos(h_x^{-1}(t))\\
z(t) = \sin(h_x^{-1}(t))
\end{matrix}
\right.
\]

@Yassine
Mais j'ai fait la même convergence dominée ! J'ai majoré par $\sup \phi''$ sur $[\epsilon,R]$ puis par $\sup \phi''$ sur $[0,R]$ . Certes j'ai jamais majoré par la norme infini, mais ca ne change pas grand chose, non ?

Bonjour !

Idée
Dans un espace de dimension n, on va calculer le volume de la couronne, que l'on va diviser par le volume que prend une bille, cad le volume autour d'un bille dans lequel il n'y a pas d'autre .

Alors le volume d'une hyperboule de rayon $r$ de l'espace $\mathbb R^n$ est donné par $ V(n,r) = \dfrac{\pi^{n/2}r^n}{\Gamma(n/2+1)}$ (https://fr.wikipedia.org/wiki/N-sph%C3%A8re)
Donc si on veut que deux billes soient distancées d'au moins d, alors elles délimitent deux hyperboules de rayon d/2 dans lesquelles il n'y a aucune autre bille :
$ V_b(n,d) = \dfrac{\pi^{n/2}(d/2)^n}{\Gamma(n/2+1)}$
Le volume de la couronne tel que $ a < ||x||_{L^2} < b $ est $V_C(n,a,b) = V(n,b)-V(n,a) = \dfrac{\pi^{n/2}(b^n - a^n)}{\Gamma(n/2+1)}$
_________
EDIT:
Le bon majorant du nombres de billes est : $ N_b(n,a',b',d) = N_b(n,a-d/2,b+d/2,d) =  V_C(n,a',b') / V_b(n,d)  = \dfrac{b'^n-a'^n}{(d/2)^n}$ arrondi à l'entier inférieur.$
Cf plus bas

   n     $ N_b(n,1,2,1)$
    1.     4.       
    2.     24.       
    3.     124.       
    4.     624.     
    5.     3124.