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#26 Re : Entraide (supérieur) » integrale » 12-08-2025 18:16:11
Bonjour,
Une erreur ...
Il faudrait être plus précis pour ne pas nous obliger à tout refaire.
Je fais le premier changement de variables.
On peut y arriver en posant x² = 1/u (ce qui est inutilement compliqué, mais soit)
2x dx = -du/u²
dx = -du/(2u²x) = -du/(2u²(sqrt(u))
ln(x) = ln(sqrt(1/u)) = 1/2.ln(1/u) = -1/2.ln(u)
ln²(x) = 1/4 * ln²(u)
x^4-x²+1 = (1/u² - 1/u + 1) = (u² - u + 1)/u²
[tex]I = \int_{\infty}^0 - \frac{1/4 * ln^2(u) * \frac{\sqrt{u}}{2u^2}}{\frac{u^2-u+1}{u^2}} du[/tex]
[tex]I = \frac{1}{8} \int_0^{\infty}\sqrt{u}.\frac{ln^2(u)}{u^2-u+1} du[/tex]
#27 Re : Entraide (supérieur) » Résoudre un système de deux équations du second degré à deux inconnues » 01-08-2025 11:31:20
Bonjour,
Résoudre en littéral n'est pas facile ...
Par contre si on a des valeurs numériques pour les coefficients, on peut y arriver avec des moyens rudimentaires (ce qui ne veut pas dire que c'est immédiat)
Exemple , si on a le système :
-30 + y + 3y² + 2x + 5xy + 4x² = 0 (1)
-13 + 7y + 4y² - x - 2xy + 2x² = 0 (2)
L'éq (1) est une équation du second degré en y dont les solutions sont trouvées classiquement :
y = [-(1+5x) +/- racine((1+5x)²-12.(-30+2x+4x²))]/6
On remet cette expression de y par exemple dans (2), c'est pelant à écrire mais sans difficulté. (on le fait 1 fois avec le + du +/- et une fois avec le du +/-)
On entre cela dans une calculette graphique et on regarde quand cela vaut 0 ...
En zoomant, on trouve 2 valeurs de x solutions (qui sont x = 1,7489... et x = 2,7858...) (cas avec le + du +/-)
Et avec le cas le - du +/- : on trouve 2 autres valeurs de x qui sont -0,4266 et -2,7207
Avec ces 4 valeurs de x remises dans (1), on a des équations du second degré en y ... dont on trouve classiquement les valeurs solutions (dont on vérifiera la validité avec l'équation (2))
Tout cela fait, on trouve 4 couples (x,y) solutions dans l'exemple donné :
(-0,4266 ; -2,986)
(2,7858 ; -0,4916)
(-2,7207 ; -0,4206)
(1,7489 ; 1,0951)
solutions évidemment approchées.
#28 Re : Entraide (collège-lycée) » 1 octet 8 bits ? » 25-05-2025 15:25:40
bonjour,
1 octet = 1 Byte = 8 bits.
#29 Re : Entraide (collège-lycée) » Notation aréte - perpendicularité de deux segments » 17-05-2025 14:13:42
Bonjour MarieMa098,
Ce que j'explique à mes élèves :
Dans un plan, deux droites sont perpendiculaires.
Dans l'espace, deux droites non coplanaires sont orthogonales.Donc, selon cette logique, deux arêtes adjacentes d'un pavé droit sont perpendiculaires, et deux arêtes non adjacentes sont orthogonales.
Bonjour,
Ou parallèles.
#30 Re : Entraide (collège-lycée) » Erreur que je ne comprends pas » 11-05-2025 18:14:31
Bonjour,
Ta dernière formule et la mienne sont équivalentes.
Un = exp(ln(u0/2)*2^n + ln(2))
Un = exp(ln(2)) * exp(ln(u0/2)*2^n)
Un = 2 * exp(ln(u0/2)*2^n)
Un = 2 * [exp(ln(u0/2))]^(2^n)
Un = 2 * (u0/2^(2^n)
Un = uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n)
Personnellement, je préfère la mienne qui ne nécessite ni des ln(), ni des exp() ... mais question de goût.
#31 Re : Entraide (collège-lycée) » Erreur que je ne comprends pas » 07-05-2025 09:11:34
Bonjour Black Jack, merci pour votre retour !
Vous avez raison de dire que ma formule ne marche pas pour tout u0, en prenant l'exemple de 3.
J'ai l'impression que votre formule ne marche pas pour les itérations n>=2 :
-soit u0 = 3 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 3
u1 = (3^2)/2 = 9/2
u2 = ((9/2)^2)/2 = 10,125en utilisant votre formule Un = u0^(2^n) * 2^(1-2^n), on devrait obtenir :
u0 = u0^(2^0) * 2^(1-2^0) = 3 (ok)
u1 = u0^(2^1) * 2^(1-2^1) = 9/2 (ok)
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = (9/2)^4 * 2^(-3) = 50,7 /= 10,125-soit u0 = 4 et
résultats de l'algorithme de l'énoncé :
u0 = 4
u1 = 8
u2 = 32u0 et u1 ok,
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = 8^4 * 2^(-3) = 512 = u3C'est possible que j'ai fait une erreur en appliquant votre formule, n'hésitez pas à me reprendre.
Si nos deux formules ne sont pas valides, je ne comprends pas ce qu'il attendait d'une première spé à qui cet exo devait prendre normalement max 10 minutes )Mais c'est rassurant de lire que la suite n'est pas être géométrique, une erreur de frappe du prof ?
En tout cas merci pour votre aide, je vais conseiller mon élève à se rapprocher de son prof pour obtenir des réponses.
Bonjour,
Tu fais des erreurs.
Je corrige :
u0 = 4
u1 = 8
u2 = 32
u0 et u1 ok,
u2 = u0^(2^2) * 2^(1-2^2) = 4^4 * 2^-3 = 32
Ce qui est bien correct... Ma formule est OK.
#32 Re : Entraide (collège-lycée) » Erreur que je ne comprends pas » 06-05-2025 16:28:00
Bonjour,
Plusieurs choses ne vont pas.
Par exemple si on choisit Uo = 3 (à la place de 4)
On a U1 = 3 * 3/2 = 4,5
Et ta formule donnerait : U1 = u0 * 2^(2^1 - 1) = 3 * 2^1 = 6
Ta formule semble fonctionner ... mais ce n'est pas le cas pour tous les Uo.
Cela fonctionne dans le cas particulier Uo = 4 ... mais pas pour d'autres valeurs de Uo
Pour moi, j'arrive à Un = Uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n) ... qui devrait être OK pour tous les Uo.
Néanmoins, la suite Un n'est pas géométrique.
#33 Re : Entraide (collège-lycée) » Différence entre prisme et prisme droit » 28-04-2025 16:01:05
Bonjour
Les faces latérales d'un prisme sont des parallélogrammes. Dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles.
Bonjour,
Les bases ne sont pas obligatoirement des parallélogrammes ...
Les 2 bases sont des polygones superposables (pas obligatoirement des parallélogrammes) et sont dans des plans parallèles.
#34 Re : Entraide (collège-lycée) » Fonction strict. croissante, de 0+ à +oo, avec croissance très faible » 18-04-2025 16:17:55
Bonjour,
Pour dresser le tableau des variations, de manière classique, on étudie la dérivée première et son signe, les limites aux bornes de l'ensemble de définitions, quelques valeurs à des points critiques ...
Mais rien n'empêche, de chercher la dérivée seconde et son signe et de l'inclure dans le tableau (même si on ne le fait pas systématiquement)
On a ainsi également des informations sur les points d'inflexion, anguleux ou de rebroussement.
Jadis, si on omettait cette partie alors qu'elle était utile dans le cas étudié ... on était pénalisé.
#35 Re : Entraide (collège-lycée) » inéquation paramétrique » 09-04-2025 09:14:33
Bonjour,
Autre approche
On développe l'inéquation de départ et on arrive à : x^4 - 5x^2 + 6 > m² - 5m - 6
Soit donc : x^4 - 5x² - (m² - 5m) > 0
qui peut s'écrire : (x²-m)(x² - (5-m)) > 0
Si on veut étudier (par exemple) le cas m < 0 (un cas qui te pose problème)
(x²-m) est > 0 et donc il faut que (x² - (5-m)) > 0 , soit : |x| > sqrt(5-m)
Donc les solutions pour m < 0 sont x compris dans ]-oo ; -sqrt(5-m)[ U ]sqrt(5-m) ; +oo[
Dans le cas particulier où m = -4, les solutions sont donc x compris dans ]-oo ; -3[ U ]3 ; +oo[
A toi, pour les autres cas de valeurs de m... si tu penses que cette approche te convient.
#36 Re : Entraide (supérieur) » Polynome. » 07-04-2025 10:22:38
Bonjour,
Black Jack a écrit :Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t.
C'est bien ça le soucis, Renard90 cherche un $a$ qui ne dépend pas de $t$, et je lui ai montré que c'était impossible.
Roro.
Bonjour,
C'est ton interprétation de l'énoncé... pas la mienne.
Quel que soit le "t" choisi, il existe un "a" tel que ... n'implique pas que a est indépendant de t.
Pour moi, cela veut dire que : quel que soit "t", il est possible de trouver un "a" tel que ...
Il n'y a pas explicitement la contrainte que le "a" ne peut pas dépendre du t choisi, juste qu'il existe une "valeur" de a pour un "t" choisi.
Il faudrait savoir ce qu'avait en tête l'auteur de la question ... mais cela on ne le saura probablement jamais.
#37 Re : Entraide (supérieur) » Polynome. » 07-04-2025 08:23:35
Bonjour,
Je ne comprends pas le problème posé (celui du message 3) de la même manière.
On a (aux erreurs près) :
x^4 + 7x^3 + t.x^2 + 3 x + 6 = (x+a).[x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3] + (a^4 - 7a³ + a².t - 3a + 6)
Il faut que (a^4 - 7a³ + a².t - 3a + 6) = 0
Il y a quatre "valeurs" de a qui conviennent ... elles dépendent évidemment de t. (Les 4 solutions trouvées par mon singe sont longues ... mais peu importe)
Il suffit alors de remplacer les "a" par une de ces expressions trouvées par le singe dans :
x^4 + 7x^3 + t.x^2 + 3 x + 6 = (x+a).[x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3]
Et on aura Pt(x) = [x^3 + (7-a)x^2 + (t - 3a + a^2).x + 3] ... en ayant remplacé les "a" par une des expressions trouvées par le singe, les coeff de Pt(x) dépendront de t.
Cela ne répond-il pas au problème posé (message 3) ?
#38 Re : Entraide (supérieur) » aide sur le calcul d'une integrale » 01-03-2025 10:31:26
Bonjour,
Une approche possible (voir si cela peut convenir en fonction du but recherché que tu n'as pas précisé).
On fait un DL de tanh(x) ...
par exemple : tanh(x) = x - x^3/3 + 2*x^5/15 - 17*x^7/315 + O(x^8) (ou peut évidemment modifier le nombre de termes en fonction de la précision attendue)
on a alors [tex]f(x) \simeq \frac{a*(x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315})}{\sqrt{1+(ax)^2)}}[/tex]
Qui est classiquement intégrable entre 0 et 1.
On trouve (merci à mon singe) :
[tex]F(x) =\int \frac{a \left(-\frac{17 x^7}{315}+\frac{2 x^5}{15}-\frac{x^3}{3}+x\right)}{\sqrt{(a x)^2+1}} \text{ d}x \\ = [/tex]
[tex]\frac{\sqrt{a^2 x^2+1} \left(a^6 \left(-85 x^6+294 x^4-1225 x^2+11025\right)+2 a^4 \left(51 x^4-196 x^2+1225\right)-8 a^2 \left(17 x^2-98\right)+272\right)}{11025 a^7}[/tex]
I = F(1) - F(0)
Par exemple pour a = 2, cela donne I = 0,5441...
Alors que le calcul (par calculette) donne à partir de la formule complète : I = 0,5457
ET
Par exemple pour a = 10, cela donne I = 0,8141259...
Alors que le calcul (par calculette) donne à partir de la formule complète : I = 0,815943
On peut augmenter la précision en prenant plus de termes au DL de tanh(x) ..., cela va évidemment de pair avec une allonge du temps de calcul de l'intégrale.
#39 Re : Entraide (supérieur) » Abîme entre théorie et pratique » 26-02-2025 09:49:10
Bonjour,
Si j'ai bien compris ce qui est demandé (pas sûr). :
On veut approcher x par a/q (avec a et q dans N) avec une erreur inférieure à 1/q², on a donc :
a/q - 1/q² < x < a/q + 1/q²
a.q - 1 < x.q² < a.q + 1
(x.q²-1)/q < a < (x.q² + 1)/q
x.q - 1/q < a < x.q + 1/q
Comme a doit être entier, il faut au moins un écart de 1 entre les 2 bornes, donc il faut 2/q >= 1
Soit q <= 2
On ne peut donc pas approcher la valeur de x par a/q avec une erreur <= 1/q² si q > 2
--------
Exemple: x = sqrt(2) et q = 2
x.q - 1/q < a < x.q + 1/q
sqrt(2)*2 - 1/2 < a < sqrt(2)*2 + 1/2
2,32 < a < 3,32
--> a = 3 (dans N)
La fraction a/q = 3/2 approche sqrt(2) à moins de 1/2² = 1/4 près.
Mais si :x = sqrt(2) et q = 3 ...
x.q - 1/q < a < x.q + 1/q
3,9 < a < 4,57
--> a = 4 (entier)
Mais a/q = 4/3 est différent de sqrt(2) de 0,08088... qui est plus grand que 1/3² = 0,111...
Donc ne va pas.
:-)
#40 Re : Entraide (collège-lycée) » Une nouvelle unité mathématique : est-ce une idée viable ? » 29-01-2025 10:14:09
Boinjour,
Ne pas confondre 0,99999999999999999 et 0,99999...
La seconde, soit 0,99999... est égal à 1
Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6
Et 2 * 0,99999... = 1,99999... , soit 2
#41 Re : Entraide (collège-lycée) » Variables aléatoires » 19-01-2025 15:45:42
Bonjour,
J'ai mal traduit ma pensée en écrivant
"Prétendre que le roi de coeur n'est pas considéré aussi comme une coeur est une ineptie."
Ce qui n'est pas évident sans le préciser est le gain qu'on a en tirant le roi de coeur.
On peut penser :
a) Soit : le gain en tirant le roi de coeur est 7 € car cette carte est à la fois un roi et un coeur, donc le gain est la somme des gain de "tirer une coeur" et de "tirer un roi"
b) Soit : le gain en tirant le roi de coeur est 5 € car c'est le gain le plus grand entre tirer une coeur et tirer un roi.
Le tableau de résolution est fait sur le manière de voir a.
Mais la manière de penser b est aussi légitime que l'autre ... et l'énoncé n'est pas explicite sur la manière de penser a ou b.
#42 Re : Entraide (collège-lycée) » Variables aléatoires » 19-01-2025 13:16:10
Bonjour,
A chacun son avis.
L'énoncé est foireux.
Grosse ambiguïté sur le gain si on tire le roi de coeur.
Prétendre que le roi de coeur n'est pas considéré aussi comme une coeur est une ineptie.
#43 Re : Entraide (collège-lycée) » Variables aléatoires » 18-01-2025 18:34:38
Merci pour ta réponse.
On ne ma jamais expliqué cela!
"Pourquoi P(2)=7/32 alors qu'il y a 8 coeur ?"
Parce que l'énoncé est foireux.
Si on considère que le roi de coeur ne doit pas être compris dans les cartes "coeur", l'énoncé devrait le dire clairement.
Si le tableau du bas est fourni avec l'énoncé, on peut deviner.
Si le tableau du bas n'est pas fourni avec l'énoncé, alors l'énoncé est foireux ou pour le moins scabreux.
#44 Re : Entraide (collège-lycée) » Domaine de définition » 30-10-2024 10:04:36
Bonjour,
Outre l'erreur d'énoncé déjà mentionnée, il y en a encore une autre.
Pour la question 1 ... Il y a un soucis en x = 0
#45 Re : Entraide (supérieur) » Différence entre un nombre et un infinitésimal. » 11-10-2024 10:08:07
Bonjour,
On parle d'infinitésimal ou "'d'infiniment petit" en analyse non standard.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard
L'apport de cette théorie a permis de simplifier certains raisonnements et calculs, surtout en calcul différentiel et intégral, (en simplifiant très fort) a étendu aux "infiniment petits" l'utilisation d'opérations mathématiques (multiplication, division ...) .
Pour le reste, on se sert peu de l'ANS (analyse non standard) car on peut atteindre les mêmes résultats sans son utilisation.
L'analyse non standard a défini rigoureusement les infiniment petits (et les infiniment grands) et les opérations permises.
Beaucoup de mathématiciens parlent de "méthode de physiciens" en pensant, à tort, que la méthode n'est pas mathématiquement rigoureuse. Mais elle l'est devenue depuis les années 1960 suite aux travaux (entre autres) d'Abraham Robinson.
Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit
quelque mots sur les "infiniment petits".
Distinction sans soucis de rigueur (de ma part) :
Quand on parle d'un nombre réel, il est défini, par exemple 5,18 ou Pi ou 2/7 ou ...
Un infinitésimal (infiniment petit) n'a pas de valeur définie, c'est "comme un nombre" strictement positif mais dont la valeur est plus petite que tout nombre réel strictement positif.
#46 Re : Entraide (collège-lycée) » cercle inscrit ou sphère dans cône » 23-09-2024 08:35:03
Bonjour,
Juste pour info, les 2 calculs du message #5 entrés dans Wolfram Alpha, donnent les mêmes résultats, soit :
6.6121107991386922051690332631874454644043441719962480651333000014
#47 Re : Entraide (collège-lycée) » cercle inscrit ou sphère dans cône » 20-09-2024 13:29:58
Bonjour,
Comprendre les 3 mesures de couleur sur mon dessin et ensuite :
1 application de Pythagore ... suivi d'une soustraction et c'est fini.
#48 Re : Entraide (collège-lycée) » Aide équation » 14-06-2024 09:44:23
Bonjour,
ATTENTION
En recherchant sur le net l'origine de ce problème, on tombe sur un site où mon antivirus se met à hurler ... pour risques sérieux de plusieurs arnaques et escroqueries (piquage de données et autres ...)
#49 Re : Entraide (supérieur) » Nature d'une série » 23-04-2024 19:15:15
Bonjour,
Si les parenthèses sont bien écrites ... u1 n'existe pas.
un=ln(1+((-1)^n)/(n^0.5))
u1=ln(1+((-1)/1)) = ln(0) ???
#50 Re : Entraide (collège-lycée) » Question ouverte avec des primitives et des équations-diffs » 09-03-2024 14:32:51
Bonjour,
Pour moi, c'est Roro qui a raison.
Ce sont des guillemets :
"Soit f une fonction continue sur R, et F une primitive de f ne s'annulant pas sur R.
Déterminer une primitive de la fonction z définie sur R par :
z(x)= f(-x)+f(2x+1)+(f(x)/F(x))"
Cela reste une écriture "malheureuse" avec risque de mauvaise interprétation.
On a [tex]z(x) = f(-x) + f(2x+1) + \frac{f(x)}{F(x)}[/tex]
Avec F une primitive ne s'annulant pas sur R de f (fonction continue de R)
Cela devient limpide avec les indications déjà données.