Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Quand est-ce qu'on eut poser que le support K est inclus dans l'intervalle [-A,A]? S'il vous plaît.
Parce que j'ai lu quelque part que, il ne faut pas intégrer sur le support de la fonction car par exemple le support de la fonction nulle est l'ensemble vide, et ça n'a pas de sens d'intégrer sur un ensemble vide, mais il faut toujours intégrer sur un un compact qui contient le support. Et par exemple dans [tex]\mathbb{R}[/tex], le support est toujours inclus dans un intervalle de la forme [-A,A]. C'est vrai?
Je vous remercie pour votre aide.

Pour le support de [tex]\psi_n[/tex], si on note [tex]supp \varphi = K[/tex], alors [tex]supp \psi_n = K[/tex]. Est-ce qu'on dit que [tex]K=[-A,A][/tex], ou [tex]K=[a,b][/tex] où [tex]a<0, b>0[/tex] ou bien on écrit que [tex]K \subset [-A,A][/tex]? Quel est le plus juste? S'il vous plaît.

2. Comment la définition de la convergence dans D implique la convergence simple? S'il vous plaît. Dans a définition de la convergence simple il n y a pas de sup. Non?
Je vous remercie pour votre aide.

Merci pour la réponse.
Pour le 1.a. Je ne comprend pas le lien entre la convergence de la série, [tex]f \in C^\infty[/tex] et le fait que [tex]\varphi \in \mathcal{D}.[/tex]
Pour le 1.b- On cherche un [tex]n[/tex] t.q [tex]G(x) >0[/tex], ce qui revient à chercher [tex]n[/tex] t.q [tex]g(x+n) >0[/tex], et ce cas est vrai si [tex]|x+n| <1[/tex], donc
[tex]-1 < x+n < 1[/tex] donc [tex]-1-x < n < 1-x[/tex]. À ce stade je ne trouve pas comment choisit n. J'avais pensé à une partie entière de quelque chose, mais ça ne tient pas la route. Comment choir un [tex]n[/tex]? S'il vous plaît.

Mais alors, comment on passe de
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C sup_x |\varphi''(x)|
[/tex]
à
[tex]
\langle T,\varphi \rangle \leq C P_{K,2}(\varphi)
[/tex]
où [tex]P_{K,2}(\varphi)= sup_{|\alpha|\leq 2} |D^{\alpha} \varphi|[/tex]?
Je vous remercie par avance

Je suis un peu perdue avec les notations.
En partant de la relation
[tex]
\langle T, \varphi \rangle \leq C \sup_{|\alpha| \leq m} |D^{\alpha} \varphi(x)|
[/tex]
Après on a la notation
[tex]
P_{K,m}(\varphi)=  \sup_{|\alpha| \leq m} |D^{\alpha} \varphi(x)|.[/tex]

L'ordre d'une distribution c'est un entier [tex]p[/tex] tel que [tex]p \leq m[/tex]? ou bien c'est p tel que [tex]p \leq |\alpha|?[/tex]

Par exemple si on a
[tex]
\langle T, \varphi \rangle \leq C sup_x |\varphi'' (x)|
[/tex]
Alors comment l'écrire en utilisant la notation de [tex]P_{K,m}[/tex]? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance.

C'est OK , j'ai bien compris toutes les étapes. Il suffit de comprendre qu'on dit que [tex]vp \dfrac{[/tex] n'est pas d'ordre 0 si on trouve une suite de fonction [tex]\varphi_n[/tex], telle que pour tout compact L, il existe [tex]\varphi_n \in \mathcal{D}_L[/tex], il existe une constante [tex]C_L[/tex] telle que
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi_n \rangle \leq C_L ||\varphi||_{\infty}
[/tex]
avec
[tex]
\langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi_n \rangle \to +\infty \mbox{ quand } n \to +\infty
[/tex]
Mais j'ai un doute dans les quantificateurs. Est-ce que tout est bon? S'il vous plaît.

Alors
[tex]
P_{K,m}(\varphi)= Sup_{|\alpha|\leq m, x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|.
[/tex]
Avec cette définition, pouvez vous m'aider  avec la question de mon premierpost? S'il vous plait
Je vous remercie par avance.

Mais la suite régularisante que vous avez définie n'est pas identique à 1 sur un compact [tex]K[/tex].

La définition d'une fonction plateau est la suivante: c'est une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Soit un compact K et soit un ouvert U tel que K est inclus dans U.
On dit d'une fonction[tex] f[/tex] qu'elle est plateau, si
1. le support de [tex]f[/tex] est inclus dans[tex] U[/tex]
2. [tex]\forall x: 0 \leq f(x) \leq 1[/tex]
3.[tex] \forall x \in K: f(x)=1[/tex]

1. Comment est définie une "suite" de fonctions plateaux?
2. Est-ce qu'il y a une relation directe  entre une suite régularisante et une suite defonctions plateaux?
Merci beaucoup.

Mais comment et pourquoi il nous viendrait à l'idée de consider un tel [tex]\psi[/tex] et un tel [tex]M[/tex], et d'écrire la première inégalitée pour enchainer?
Merci beaucoup.