Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour et bonne journée à vous qui me lirez.

Considérons l'opérateur de Sturm–Liouville [tex]Au = -(pu)'+qu[/tex] avec conditions aux bords de Dirichlet sur un intervalle borné [tex]I[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex], où $p\in C^{1}(\overline{I}), q\in C(\overline{I}), p\ge\alpha>0, q\ge 0$.

Il est bien connu que $A$ se décompose spectralement de la façon suivante sur $L^{2}(I)$:

$\exists (\lambda_n)_{n\ge 1}\subset (0,\infty)$, $(\lambda_n)_{n\ge 1}$ croissante, $\lambda_n\rightarrow\infty$ quand $n\rightarrow\infty$;
$\exists (\varphi_n)_{n\ge 1}$ base hilbertienne de $L^{2}(I)$ tels que

$$A\varphi_n = \lambda_n\varphi_n\hspace{0.5cm}\forall n\ge 1.$$

De même chaque valeur propre $\lambda_n$ est de multiplicité $1$, autrement dit, chaque valeur propre $\lambda_n$ est simple.

[tex]\textbf{Question:}[/tex] Svp comment voir que:

Comme les $(\lambda_n)_{n\ge 1}$ sont croissantes, Alors les fonctions propres $\varphi_n(x)$ correspondantes possèdent [tex]\textbf{exactement}[/tex] $n-1$ zeros sur $I$?

Personnellement, j'ai étudié certaines propriétés spectrales de cet opérateur avec $p\equiv 1,\;q(x) = |x|^{2\gamma}, \;\gamma>0$ et $I = (-1,1)$.

Je n'arrive pas toujours à percevoir le problème que je pose ci-dessus pourtant bien utilisé dans beaucoup de livres de théorie spectrale mais sans justification.

[tex]\textbf{NB:}[/tex] Une bibliographie m'aiderait également.

[tex]\textbf{Merci!}[/tex]

Bonjour à tous, je veux montrer que  le problème d'optimisation suivant:
$$\inf\limits_{\substack{u\in c^1([-1,1])\\u(-1)=0=u(1)}}\left(\int_{-1}^{1}(1-[u'(t)]^2)^2\mathrm{d}t\right)$$ admet de solution mais seulement je n'ai pas la demarche, ni un théorème et encore moins un cours sur lequel je peux me baser pour demarrer. En effet je dispose d'un théorème (condition suffisante d'existence) d'un minimun d'un problème de minimisation en dimension finie (Soient $E$ un evn de dimension finie et $K$ un sous-ensemble fermé de $E$; Toute fonction $f$, continue et coercive sur $K$ admet un minimun dans $K$) mais seulement je ne sais pas si ce théorème est valable en dimension infinie. Et si oui lorsque les hypothèses de ce dernier ne sont pas vérifiées (i.e qu'on ne peut l'appliquer), existe t'il un autre théorème d'existence? (En dehors biensûre du premier théorème d'optimalité qui stipule que toute fonction continue sur un compact atteint ses bornes.)
Merci!

Bonjour à tous, svp j'ai besoin d'un regard neuf et surtout d'eclairssissement sur cette preuve que j'ai faite et qui me semble vraiment pas claire

Soit [tex]X[/tex] un espace topologique on désigne par:
[tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] et bornée sur [tex]X[/tex];
[tex]\mathcal{C}_c(X)[/tex] l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] à support compact dans [tex]X[/tex];
Etant donné un espace topologique [tex]X\; \sigma-compact[/tex] ou dénombrable à l'infini, [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] est nulle à l'infini si:
[tex]\forall\epsilon>0,\;[/tex] il existe un compact [tex]K_{\epsilon}\subset X[/tex]  tel que [tex]|f(x)|<\epsilon\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.[/tex]
l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] sur [tex]X[/tex] et nulles à l'infini, se note [tex]\mathcal{C}_0(X)[/tex].
On muni [tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] de la norme [tex]N:\mathcal{C}_b(X)\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]; [tex]N(f) = \sup\limits_{x\in X}|f(x)|[/tex] qui fait de lui un espace de Banach. On a naturelement [tex]\mathcal{C}_c(X)\subset\mathcal{C}_0(X)\subset\mathcal{C}_b(X)[/tex].

On suppose que [tex](X,d)[/tex] est un espace métrique dénombrable à l'infini, on veux monter que la fermerture(adhérence) de [tex]\mathcal{C}_c(X)[/tex] dans [tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] est égale à [tex]\mathcal{C}_0(X)[/tex] ie, [tex]\overline{\mathcal{C}_c(X)}^{\mathcal{C}_b(X)} = \mathcal{C}_0(X).[/tex]

Voici la démarche que j'utilise pour pouvoir le prouver:

Soient $f\in\mathcal{C}_0(X)$ et $\epsilon>0$, cherchons $g\in\mathcal{C}_c(X)$ tel que $N(f-g)<\epsilon.$
En effet $f\in\mathcal{C}_0(X)\Rightarrow$ pour tout $\epsilon>0,\;\exists K_{\epsilon}\subset X$ compact tel que $|f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.$
On a $K_{\epsilon}$ compact, $K_{\epsilon}^C$ ouvert et $K_{\epsilon}\cap K_{\epsilon}^C = \emptyset$ ; D'après le lemme de séparation d'Uryshon, $g$ définie par:
$$g(x) = \frac{d(x,K_{\epsilon}^C)}{d(x,K_{\epsilon}^C)+d(x,K_{\epsilon})}.$$ vérifie:
$0< g(x)< 1, \;\;\;\forall x\in X-\partial K_{\epsilon};$ ($\partial K_{\epsilon}$ est la frontière de $K_{\epsilon}$)
$g\equiv 0$ sur $K_{\epsilon}^C;$
$g\equiv 1$ sur $K_{\epsilon}.$
Donc $supp(g)\subset K_{\epsilon}$ est compact comme fermé dans un compact. Par suite on a $\forall\epsilon>0,\;|f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$ et $|g(x)|<\frac{\epsilon}{2}\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.$
On a:
\begin{eqnarray*}
|f(x)-g(x)|&\le&|f(x)|+|g(x)|\\
&<&\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}\\
\end{eqnarray*}
Donc $\sup\limits_{x\in X}|f(x)-g(x)|<\epsilon$, et par suite $N(f-g)<\epsilon.$ Donc\;$g\in B(f,\epsilon) $(boule ouverte de centre $f$ et de rayon $\epsilon$).
Ainsi toute boule ouverte de $\mathcal{C}_0(X)$ rencontre un élément de $\mathcal{C}_c(X)$\\\textbf{Conclusion:} $\overline{\mathcal{C}_c(X)}^{\mathcal{C}_b(X)} = \mathcal{C}_0(X).$

bonjour à tous j'ai faire la preuve de cette formule [tex](1)[/tex] par récurrence mais je veux avoir  une preuve autre que la récurrence:
[tex]{1}_{\cup_{k=1}^nA_k} = \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}\left(\sum\limits_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}{1}_{(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})}\right)\;\;\;\;\;(1).[/tex]
Cordialement!

Bonjour chers tous, svp j'ai besoin d'un lien pour la preuve de la formule [tex](1.1)[/tex] de Poincaré suivante:
Soit [tex]\mu[/tex] une mesure finie sur [tex](\Omega,\mathscr{F}).[/tex] Pour tout entier [tex]n\ge 2[/tex] et tous [tex]A_i (1\le i\le n)[/tex] éléments de [tex]\mathscr{F},[/tex] on a:
[tex]\mu(\bigcup_{i=1}^nA_i) = \sum\limits_{i=1}^n\mu(A_i)+\sum\limits_{k=2}^n(-1)^{k+1}\sum\limits_{1\le i_1<i_2\ldots<i_k\le n}^n\mu(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\;\;\;\;\;\; (1.1)[/tex]

ou bien si quelqu'un peut m'aider (où m'indiquer les grand points) de la preuve ça sera génial.
Merci!