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lekoue

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Densité de Cc(X) dans Co(X)

Bonjour à tous, svp j'ai besoin d'un regard neuf et surtout d'eclairssissement sur cette preuve que j'ai faite et qui me semble vraiment pas claire

Soit [tex]X[/tex] un espace topologique on désigne par:
[tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] et bornée sur [tex]X[/tex];
[tex]\mathcal{C}_c(X)[/tex] l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] à support compact dans [tex]X[/tex];
Etant donné un espace topologique [tex]X\; \sigma-compact[/tex] ou dénombrable à l'infini, [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] est nulle à l'infini si:
[tex]\forall\epsilon>0,\;[/tex] il existe un compact [tex]K_{\epsilon}\subset X[/tex]  tel que [tex]|f(x)|<\epsilon\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.[/tex]
l'espace des fonctions continues [tex]f: X\longrightarrow \mathbb{R}[/tex] sur [tex]X[/tex] et nulles à l'infini, se note [tex]\mathcal{C}_0(X)[/tex].
On muni [tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] de la norme [tex]N:\mathcal{C}_b(X)\longrightarrow \mathbb{R}_+[/tex]; [tex]N(f) = \sup\limits_{x\in X}|f(x)|[/tex] qui fait de lui un espace de Banach. On a naturelement [tex]\mathcal{C}_c(X)\subset\mathcal{C}_0(X)\subset\mathcal{C}_b(X)[/tex].

On suppose que [tex](X,d)[/tex] est un espace métrique dénombrable à l'infini, on veux monter que la fermerture(adhérence) de [tex]\mathcal{C}_c(X)[/tex] dans [tex]\mathcal{C}_b(X)[/tex] est égale à [tex]\mathcal{C}_0(X)[/tex] ie, [tex]\overline{\mathcal{C}_c(X)}^{\mathcal{C}_b(X)} = \mathcal{C}_0(X).[/tex]

Voici la démarche que j'utilise pour pouvoir le prouver:

Soient $f\in\mathcal{C}_0(X)$ et $\epsilon>0$, cherchons $g\in\mathcal{C}_c(X)$ tel que $N(f-g)<\epsilon.$
En effet $f\in\mathcal{C}_0(X)\Rightarrow$ pour tout $\epsilon>0,\;\exists K_{\epsilon}\subset X$ compact tel que $|f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.$
On a $K_{\epsilon}$ compact, $K_{\epsilon}^C$ ouvert et $K_{\epsilon}\cap K_{\epsilon}^C = \emptyset$ ; D'après le lemme de séparation d'Uryshon, $g$ définie par:
$$g(x) = \frac{d(x,K_{\epsilon}^C)}{d(x,K_{\epsilon}^C)+d(x,K_{\epsilon})}.$$ vérifie:
$0< g(x)< 1, \;\;\;\forall x\in X-\partial K_{\epsilon};$ ($\partial K_{\epsilon}$ est la frontière de $K_{\epsilon}$)
$g\equiv 0$ sur $K_{\epsilon}^C;$
$g\equiv 1$ sur $K_{\epsilon}.$
Donc $supp(g)\subset K_{\epsilon}$ est compact comme fermé dans un compact. Par suite on a $\forall\epsilon>0,\;|f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$ et $|g(x)|<\frac{\epsilon}{2}\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}.$
On a:
\begin{eqnarray*}
|f(x)-g(x)|&\le&|f(x)|+|g(x)|\\
&<&\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon\;\;\forall\;x\in X-K_{\epsilon}\\
\end{eqnarray*}
Donc $\sup\limits_{x\in X}|f(x)-g(x)|<\epsilon$, et par suite $N(f-g)<\epsilon.$ Donc\;$g\in B(f,\epsilon) $(boule ouverte de centre $f$ et de rayon $\epsilon$).
Ainsi toute boule ouverte de $\mathcal{C}_0(X)$ rencontre un élément de $\mathcal{C}_c(X)$\\\textbf{Conclusion:} $\overline{\mathcal{C}_c(X)}^{\mathcal{C}_b(X)} = \mathcal{C}_0(X).$

Dernière modification par lekoue (28-04-2018 18:31:18)

lekoue

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

le souci avec ma preuve reside premièrement avec la définition de la fonction $g$ et tout ce qui suit. vous voudriez bien soit me corriger dans mon approche ou soit me refférer dans un livre dans lequel je peux avoir cette preuve?
Merci pour l'attention de chacun et tous.
Cordialement!

Dattier

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

Salut,

$f$ n'est pas forcément constante, la fonction $g$ (que tu cherches) ne serait-elle pas plus $u\times f$ ?
avec $u$ la fonction trouvé en employant le lemme d'Uryshon (que tu as appelé $g$)

Cordialement.

lekoue

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

Bonsoir Dattier et merci déjà. Nonobstant je ne saisi pas bien ton message.
Cordialement!

Dattier

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

ok, prends un exemple $X=\mathbb R$, $f(x)=\exp(-x^2)$ et $\epsilon=2\times e^{-4}$ quelle $g$ trouves-tu ?

Dernière modification par Dattier (29-04-2018 22:06:38)

Dattier

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

rappelle pour appliquer le lemme d'Uryshon il faut 2 fermés et non un fermé et un ouvert :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d%27Urysohn

lekoue

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

D'accord  avec vous Dattier en ce qui concerne le lemme de séparation d'Uryshon et c'est d'ailleurs pourquoi dans mon premier post je disais que mon raisonnement n'était pas clair. Je rappelles aussi que le même lemme marche avec un compact et un fermé.
maintenant la fonction $f(x) = e^{-x^2}$ vérifie $f(x)<2e^{-4}$ en dehors du compact $[-\sqrt{4-ln 2},\sqrt{4-ln 2}]$. en ce qui concerne la fonction $g$, je ne vois pas comment l'exprimer explicitement.
Cordialement!

Dattier

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

Bonjour,

Je rappelle qu'un compact est aussi un fermé.

$K_{\epsilon}=\{x\in\mathbb R | |f(x)|\geq e^{-4}=\epsilon/2\}=[-2,2]$ donc $g(x)=1$ sur $[-2,2]$
or $|g(2)-f(2)|=|1-e^{-4}|>\epsilon=2\times e^{-4}$ donc $N(f-g)>\epsilon$...

il faut prendre $f\times g$, j'espère que c'est plus clair maintenant.

Sans cela je ne serais rien ajouter de plus, sauf à répéter ce que j'ai déjà dit.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (30-04-2018 06:06:49)

lekoue

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Re : Densité de Cc(X) dans Co(X)

Bonjour Dattier et merci beaucoup. Je vois un peu plus clair maintenant.
Cordialement!