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#1 Re : Entraide (supérieur) » groupe » 02-06-2011 16:36:27
Un morphisme de groupe n'est pas toujours injectif. Pour s'en convaincre considérons la projection canonique p d'un groupe G dans un sous groupe F strictement contenue dans G définit par p(x)=x si x appartient à F et p(x)=e si x n'appartient pas à F, où e=élément neutre. p n'est pas injective, sinon elle serait un isomorphisme.
Merci c bien claire et je pense que tricko est entrain de se retrouver. Mais moi j'envisagais procéder comme suit: Soient F et G deux groupes de même cardinal fini n telles que F soit non cyclique d'élément neutre e et G cyclique d'élément neutre e', et soit f un morphisme de F vers G. Montrons que f n'est pas bijective.
Si f est surjective, montrons qu'elle ne peut être injective et vice-versa.Supposons que f soit surjective
Soit $y\in G$ et y différent de e' alors il existe $x\in F$ tel que $y=f(x)$. On a $y^n=e'=(f(x))^n=f(x^n)$. Si f était injective on aurait $x^n=e$ ce qui absurde car F n'est pas cyclique.
Ah en me rappelant qu'un morphisme de corps est injectif j'imagine qu'il en est de même pour les morphismes de groupe et dans ce cas la démarche précédente n'as pas de raison d'être.
Je suis entrain de réfléchir pour l'autre sens.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Ensemble R » 02-06-2011 16:09:41
j'avais justifié cela comme suis.
Si on ajoute à 0 un nombre epsilon strictement positf aussi petit qu'il soit alors 0+epsilon n'est pas un minorant de A. En effet puisque la suite 1/(2^n) tend vers 0, alors pour ce epsilon, il existe un entier naturel M tel que si n supérieur à M alors 1/(2^n) est strictement plus petit que epsilon. Donc 1/(2^(M+1)) est strictement plus petit que epsilon=0+epsilon et 1/(2^(M+1)) appartient à A et par suite 0+epsilon n'est pas un minorant de A. D'où O=inf(A).
#3 Re : Entraide (supérieur) » Ensemble R » 28-05-2011 13:35:48
Pour C
C est exactement l'ensemble des réels x positifs telle que valeur absolue de x est inférieure ou égale à racine de 2. C'est à dire l'ensemble des réels compris (ausens large) entre 0 et racine de 2.
Donc C est minorée et majorée respectivement par 0 et racine de 2qui sont aussi respectivement le minimum et le maximum de C.
#4 Re : Entraide (supérieur) » groupe » 27-05-2011 23:24:15
Merci c bien claire et je pense que tricko est entrain de se retrouver. Mais moi j'envisagais procéder comme suit: Soient F et G deux groupes de même cardinal fini n telles que F soit non cyclique d'élément neutre e et G cyclique d'élément neutre e', et soit f un morphisme de F vers G. Montrons que f n'est pas bijective.
Si f est surjective, montrons qu'elle ne peut être injective et vice-versa.
Supposons que f soit surjective
Soit $y\in G$ et y différent de e' alors il existe $x\in F$ tel que $y=f(x)$. On a $y^n=e'=(f(x))^n=f(x^n)$. Si f était injective on aurait $x^n=e$ ce qui absurde car F n'est pas cyclique.
Ah en me rappelant qu'un morphisme de corps est injectif j'imagine qu'il en est de même pour les morphismes de groupe et dans ce cas la démarche précédente n'as pas de raison d'être.
Je suis entrain de réfléchir pour l'autre sens.
#5 Re : Entraide (supérieur) » groupe » 25-05-2011 23:38:16
Bonjour,
par exemple l'un est cyclique l'autre non.
Cela veut dire que le fait d'être cyclique est conservé par isomorphisme. J'essayerai de prouver cela.
#6 Re : Entraide (supérieur) » groupe » 21-05-2011 12:23:36
Merci de la clarification. Maqis je suis entrain de voir pourquoi (Z/4Z) n'est pas isomorphe (de groupe) à
(Z/2Z)x(Z/2Z).
#7 Re : Café mathématique » combinaisons » 12-05-2011 15:58:52
je répondrai à la première question comme elle a été exactement formulée à savoir "le nombre de combinaisons à 5 chiffres", mais je commencerai par me donner un ensemble de nombre E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} . Les nombres de possibilités sont:
A) les 5 nombres sont compris entre 1 et 9; on a alors $C_5^9=126$ possibiltés
B) les 3 sont compris entre 1 et 9 et le dernier et compris entre 10 et 12; on a alors $C_3^9.C_1^3=252$
C) 1 est compris entre 1 et 9 et les deux sont compris entre 10 et 12; on a alors $C_1^9.C_2^3=27$
Le résultat est alors la somme de ces trois possibilités c'est à dire 126+252+27=405
Repose bien ta derniere question.
Merci
#8 Re : Entraide (supérieur) » Ensemble R » 09-05-2011 17:21:02
Pour l'ensemble B
On a inf(B)=0 et 0 appartient à B; donc 0=min(B). B n'est pas majorée donc n'admet pas de borne supérieure et donc pas de max
#9 Re : Entraide (supérieur) » groupe » 06-05-2011 16:33:33
C vrai que si l'ensemble à 4 éléments possède une structure de groupe alors il sera isomorphe à Z/4Z. On doit alors le munir d'une structure de groupe c à dire définir d'abord une loi interne (on poura peut être construire une table de composition) qui satisfait aux conditions de groupe (associativité,existence d'élément neutre, tous les éléments sont symétrisables). Mais le problème n'est pas si simple car il faudra montrer qu'on ne peut le munir que de deux et deux seuls structure.
#10 Re : Entraide (supérieur) » Ensemble R » 05-05-2011 18:37:13
Si on ajoute à 0 un nombre epsilon strictement positf aussi petit qu'il soit alors 0+epsilon n'est pas un minorant de A. En effet puisque la suite 1/(2^n) tend vers 0, alors pour ce epsilon, il existe un entier naturel M tel que si n supérieur à M alors 1/(2^n) est strictement plus petit que epsilon. Donc 1/(2^(M+1)) est strictement plus petit que epsilon=0+epsilon et 1/(2^(M+1)) appartient à A et par suite 0+epsilon n'est pas un minorant de A. D'où O=inf(A).
#11 Re : Entraide (supérieur) » Ensemble R » 04-05-2011 18:48:16
Pour L'ensemble A
On voit que tout élément de A est plus petit que 2 et est plus grand que -1. Donc -1 et 2 sont respectivement des minorant et majorant de A. Puisque A et non vide donc il admet une borne supérieure (qui est le plus petit des majorant de A) et une borne inférieure (qui est le plus grand des minorant de A). Donc 1 et 0 sont respectivement la borne supérieure et la borne inférieure. Puisque 1 appartient à A donc un est un maximum. Puisque 0 n'appartient pas à A donc A n'admet pas de minimum.
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