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Bonsoirs a tous et toutes

Pourriez-vous m'aider pour cet exercice svp

Enoncé :

Soit $f$ une fonction continûment dérivable dans  $[a, b]$, $b > a$, telle
que $f(a) = f(b) = 0$. Montrer qu'il existe au moins un point $x_0 \in [a, b]$
tel que
$$ |f'(x_0)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x$$

d'abord j'ai remarqué que $\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}-a=b-\frac{a+b}{2}$, puis,
$$\frac{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2}=\frac{\frac{\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}+\frac{\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}}{\frac{b-a}{2}}$$

D'après TVI, on peut trouver $c_1,c_2\in[a,\frac{a+b}{2}]\times[\frac{a+b}{2},b]$ tels que $\frac{\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}=f(c_1),\frac{\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}{\frac{b-a}{2}}=f(c_2)$
Ainsi
$$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x=\frac{b-a}{2}(f(c_1)+f(c_2))$$

BSR à Toutes et Tous !!
Voilà un petit exo tout mignon. Il est pathologique car j'aime bien sortir des sentiers battus et d'un certain classicisme ennuyant
Soit $f$ une fonction continue sur $[0, +\infty[$, telle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=l$, $l\in\mathbf{R}$, $l>0$. et $f(0)+f(1)+...+f(n)\ne 0$
quel que soit $n\in\mathbf{N}$. Il s'agit de montrer que :

                                                                                                    \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left[\dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}\right]=1\]

J'ai essayé d'appliquer la définition d'une limite d'une suite , en fixant un $\epsilon>0$, et chercher un rang pour laquelle on a

$$\displaystyle\left\lvert \dfrac{\int_{0}^{n} f(t) \,dt} {f(0)+f(1)+...+f(n)}-1\right\rvert<\epsilon$$
c-à-d
$$\displaystyle\left\lvert \int_{0}^{n} f(t) \,dt-\sum_{i=1}^{n} f(i) \right\rvert < \epsilon \sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert $$

Je sais que ,puisque $f(n)$ tend vers $l$, $\sum_{i=1}^{n}\lvert f(i)\lvert$ peut être, a partir d'un certain rang, majorée par quelque chose dépendant  de $l,n$ et $ \epsilon $ et c'est ici que je bloque !!

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Une telle suite possède la propriété $P_1$ (resp. $P_2$ ) s'il existe un indice $h$ (resp. $k$) tel que
$u_h = sup_nu_n$ (resp. $u_k = inf_n u_n$).
Montrer que si la suite $ (u_n)$ est convergente dans $R$ elle possède au moins
l'une des propriétés $P_1$ ou $P_2$.

Svp une idée pour trouver $x$
$tan x$ = $2+\sqrt3$
Sachant que $tan \frac{\pi} {12}=2-\sqrt3$