Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Effectivement, c'est une question de vocabulaire. Quand on parle de "série de terme général $u_k$", on parle de la suite $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$. (A noter qu'ici la série débute à $u_1$ mais selon le domaine dé définition de la suite $(u_k)$, elle peut commencer à $u_0$, $u_2$ voire $u_{-1}$ si on a une suite définie sur $\mathbb{Z}$.

En résumé :
Quand on parle du "$n$-ème terme de la série de terme général $u_n$", on parle de  $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$.

Bon, après quand on est habitué et qu'on sait un peu de quoi on parle on raccourcit pour aller plus vite. On peut écrire "la série des $u_n$" ou "la somme des $u_n$" pour parler de cette série à terme général $u_n$.

Attention toutefois à le faire que quand on est assez à l'aise, et à ne pas en abuser. Dans ce sujet posté par le même auteur, il conclut en disant "la série des |un| converge donc un converge abs. donc un converge" et là c'est typiquement trop raccourci, même faux à la fin.
"La série des $|u_n|$ converge" ça en vrai y a pas de problème.
"donc $|u_n|$ converge absolument" là on est un peu plus dans l'abus. La "convergence absolue" n'a de sens que pour des séries. Donc par extension on comprend qu'il parle forcément de la série des $|u_n|$ qui converge absolument, mais bon.
"donc $u_n$ converge" et là patatra, rien ne va plus, on ne dit plus du tout la même chose car on parle de la convergence des $u_n$ et non de sa série.

Même si ce n'est pas extrêmement grave dans cet exemple car le contexte est assez clair, cela peut poser des soucis dans des problèmes plus compliqués où il n'y a pas que des séries en jeu.
Il ne faut pas être trop fainéant, d'autant plus qu'écrire ça sur une copie de concours peut coûter très cher, car la conclusion ne répond pas à la question (un correcteur un peu bourrin peut enlever des points à la question en disant "ce n'est pas ce qui est demandé" ou parce qu'il pense que le vocabulaire / les notions ne sont maîtrisés).

Bonjour,

Black Jack a raison, $u_1$ n'est pas définie. Après, pour compléter sa réponse, on va étudier la comportement de la suite en l'infini pour voir si la série diverge.

Effectivement si tu fais le DL de ta série à l'ordre 1 tu obtiens :
$$
\ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + o\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)
$$

La série alternée est bien convergente, mais le problème c'est que dans ton petit $o$ tu n'as pas une série absolument convergente, donc tu ne peux pas conclure.

Si tu te réfères au bas de cette page, il faut que tu fasses ton DL à un ordre où ton petit $o$ soit une série absolument convergente, et ici ça sera l'ordre 3. Puis il faudra étudier ce qu'il y a avant ton petit $o$ (spoiler : ça sera divergent).

Je veux bien dire que $\phi = \sigma^2$, ce qui n'empêche pas de dire $a(\phi) = \sigma^2$ en prenant simplement l'identité pour $a$ ($a(\phi) = \phi$.

Bonjour,

Bon bah on est sur la bonne voie déjà !
Par contre attention à la définition de $b$, ce n'est pas exactement ça. Il manque un moins, et surtout faire attention aux valeurs de $\theta$ qui sont toujours négatives, donc on ne peut pas directement appliquer la racine carrée à $\theta$.
Quant à $\phi$ je ne comprends pas trop pourquoi tu ne le trouves pas, c'est presque le même travaille que pour $\theta$.
Tu as un paramètre $\sigma^2$ au dénominateur et tu peux choisir un paramètre $\phi$ et une fonction $a(\phi)$ au dénominateur... L'identification est assez directe.
Restera finalement à montrer que $c$ ne dépend que de $y$ et $\phi$, et pas de $\theta$, ce qui se fera facilement une fois $\theta$ et $\phi$ identifiés !

C'est plutôt "a la somme de ses coefficients non nuls" Michel non ? Sinon ça voudrait dire que la famille est libre, ce qui poserait un petit problème...

Re,

Tout d'abord merci Fred d'avoir complété ma réponse.
Si vous voulez le faire pour une famille de taille quelconque, il faut étendre ce que Fred et moi avons proposé et le tour est joué !

Pour s'en convaincre :

-Cas où on peut avoir une CL nulle mais une somme des coefficients non nuls
Si je veux le faire pour une famille génératrice de taille finie $p\in \mathbb{N}^*$ quelconque ($p>2$ car sinon ça ne peut pas être une famille génératrice). Je reprends mes vecteurs $\vec{e_1} = (1;0),\vec{e_2} = (0;1),\vec{e_3} = (1;1) = \vec{e_1} + \vec{e_2}$ puis je rajoute $p-3$ vecteurs nuls i.e. $\vec{e_4} = (0;0),\vec{e_5} = (0;0), \dots , \vec{e_{p-1}} = (0;0),\vec{e_p} = (0;0)$.
On obtient alors une famille génératrice de $p$ vecteurs de $\mathbb{R}^2$. A partir de là on peut écrire :
$$
\vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3} + 0.\vec{e_4} + \dots + 0.\vec{e_{p-1}} + 0.\vec{e_p}= \vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3} + \vec{0} + \dots + \vec{0} = \vec{0}
$$
Et la somme des coefficients vaut :
$$
1 + 1 - 1 + 0 + \dots + 0 = 1
$$
Si on veut maintenant le faire pour une famille dénombrable de vecteurs, on peut définir la suite des vecteurs telle que :
$$
\left\{\begin{array} \\
\vec{e_1} = (1;0),\vec{e_2} = (0;1),\vec{e_3} = (1;1) \\
\forall i \geq 4, \vec{e_i} = (0;0)
\end{array}\right.
$$
Et le principe reste le même, on peut simplement prendre les 3 premiers vecteurs pour obtenir une combinaison linéaire nulle mais dont la somme des coefficients est non nulle.

-Cas où on ne peut jamais avoir une CL nulle mais une somme des coefficients non nuls
On reprend les 3 vecteurs de Fred, mais en changeant un peu l'ordre : $\vec{e_1} = (0;1),\vec{e_2} = (1;0),\vec{e_3} = (1;0)$. Pour avoir une famille de cardinal $p\in\mathbb{N}^*$ quelconque, on peut rajouter à ces 3 premiers vecteurs les vecteurs $\vec{e_4} = (1;0),\vec{e_5} = (1;0), \dots , \vec{e_{p-1}} = (1;0),\vec{e_p} = (1;0)$.
De la même manière, si :
$$
\sum_{i=1}^p \lambda_i \vec{e_i} = (0;0)
$$
Alors
$$
\lambda_1 = 0, \quad \sum_{i=2}^p \lambda_i = 0
$$
D'où :
$$
\sum_{i=1}^p \lambda_i = 0
$$
Si on veut le faire avec une famille dénombrable, on peut poser la suite :
$$
\left\{\begin{array}\\
\vec{e_1} = (0;1),\vec{e_2} = (1;0),\vec{e_3} = (1;0)\\
\forall i \geq 4, \vec{e_i} = (1;0)
\end{array}\right.
$$
Et avec cette famille de vecteurs, par le même raisonnement que Fred a montré, toute combinaison linéaire nulle implique que la somme des coefficients est nulle.

NB : en relisant je viens de voir que vous vouliez éventuellement une contrainte en plus qui est que la famille "contient une infinité d'éléments distincts".
Je pense alors qu'on peut poser la suite :
$$
\left\{\begin{array}\\
\vec{e_1} = (0;1)\\
\forall i \geq 2, \vec{e_i} = \left(\frac{1}{i};1-\frac{1}{i}\right)
\end{array}\right.
$$
Si on suppose alors qu'une combinaison linéaire est nulle, et en notant $P$ le dernier élément scalaire non nul :
$$
\sum_{i=1}^P \lambda_i \vec{e_i} = \vec{0} \Rightarrow \left\{\begin{array}\\
\sum_{i=2}^P\lambda_i \frac{1}{i}= 0\\
\lambda_1 + \sum_{i=2}^P\lambda_i \left(1-\frac{1}{i}\right)= 0
\end{array}\right.
$$
En sommant les deux équations on obtient :
$$
\lambda_1 + \sum_{i=2}^P\lambda_i \left(1-\frac{1}{i} + \frac{1}{i}\right) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^P \lambda_i = 0
$$

Bonjour,

Ce lien est un chemin local de ton ordi. Tu as sûrement ouvert le pdf avec ton navigateur (ils peuvent tous lire des pdf maintenant) pour copier ce lien dans la barre de recherche, mais en soit le document n'est pas en ligne !
Pour faire simple : ton navigateur utilise un outil qui lui permet de lire des pdf, mais n'utilise pas internet (c'est pour cela que l'on peut quand même ouvrir les pdf avec son navigateur, même sans internet).

Le plus simple si tu ne maîtrises pas LaTeX pour taper l'exercice sur le forum (cf. le tuto de yoshi dispo ici pour avoir les bases) est de prendre une photo ou une capture d'écran, de la mettre en ligne par exemple sur cjoint (https://www.cjoint.com/) et d'envoyer le lien de la photo.

Bonjour,

Pour montrer qu'une suite définie par récurrence est bien définie, il faut montrer qu'il y a existence et unicité pour tous les termes, et cela se fait par récurrence.
Ici, on veut donc montrer que les $c_n$ et $\lambda_n$ existent et sont bien définis de manière unique pour $n\in\mathbb{N}^*$.
Dans l'hypothèse de récurrence il va donc falloir supposer que $\frac{1+c_n}{2}$ est positif pour pouvoir prendre la racine carrée et définir $c_{n+1}$. Il faut donc $c_n \geq -1$.
Quant à $\lambda_{n+1}$ il faudra supposer que $c_{n+1}$ est différent de $0$ pour bien le définir. Or $c_{n+1} = 0 \iff c_{n} = -1$.

Au final, l'hypothèse de récurrence va ressembler à :
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \mathcal{P}_n \text{ : "$c_n$ et $\lambda_n$ sont bien définis et $c_n>-1$"}
$$

Pour la deuxième partie c'est un peu différent car il n'y a pas de récurrence. Ici il faut surtout montrer que tu peux définir tes deux suites en écrivant $\theta_n = \dots$ et $\alpha_n = \dots$. La bijection de $\cos$ sera très utile pour cela.

Bonjour !

Déjà je pense qu'il manque une parenthèse, en tout cas j'ai compris que tu parles de cette équation différentielle :
$$
y'(t) = \frac{1-t}{1+y(t)}
$$

Maintenant, pour une équation différentielle il est toujours important de préciser sur quel intervalle $I$ on la résout (i.e. $t\in I$), et pour quel ensemble de fonctions.
Par exemple ici on peut voir qu'il faut un espace de fonction où $y$ ait la gentillesse de ne jamais valoir $-1$, et qui doit être au moins dérivable sur l'interval $I$.

On peut voir l'importance de choisir $I$ car quand tu écris "On suppose que la solution à cette équation, prend la forme U(t) = √(at² + bt +c) +d." et bien il faut un minimum de condition sur $a,b,c$ pour que $u$ soit ne serait-ce que défini et dérivable sur $I$.

Une fois le cadre posé, on peut s'attaquer à la question.

L'énoncé est sympa et donne directement la forme de toute solution à ton équation différentielle. C'est-à-dire que si $y$ est une fonction qui vérifie $y'(t) = \frac{1-t}{1+y(t)}$ alors il existe $a,b,c,d$ réels tels que $y(t) = \sqrt{at^2+bt+c}+d$ (sous conditions d'existence et de dérivabilité sur $I$ comme dit plus haut).
Pour avoir la nouvelle forme de l'équation, essaie de réinjecter cette forme que tu viens de voir pour $y$ dans ton équation. Donc il faut commencer par dériver $y$ puis essayer de regrouper les terms de la même manière que l'énoncé.

Si vous ne comprenez, c'est qu'il y a un problème au niveau de la logique.
Ici, il y a un petit résumé de ce qu'il faut savoir sur la logique.

Dans notre cas on peut dire que $\mathcal{P}$ est la proposition "$m\equiv 0 [7]$" et $\mathcal{Q}$ la proposition "$n\equiv 0[7]$"
On veut donc montrer $\mathcal{P} \iff \mathcal{Q}$, et pour cela on va procéder par double implication.
Je vais faire l'implication $\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}$ pour montrer l'exemple.

Je suppose que la proposition $\mathcal{P}$ est vraie. Je suppose donc que l'on a $m\equiv 0 [7]$.
Maintenant, comme $m\equiv 0 [7]$ on a $3\times m \equiv 3\times 0 [7]$ et donc :
$$
3m \equiv 0 [7]
$$

On se retrouve donc avec :
$$
\left\{
\begin{array}\\
3m \equiv 0 [7] \\
n - 3m\equiv 0 [7]\\
\end{array}
\right.
$$
Et donc en additionnant $n-3m+3m \equiv 0+0 [7]$, c'est-à-dire :
$$
n\equiv 0 [7]
$$

J'espère que c'est assez clair et que ça vous permettra de conclure !

Oui c'est cela !
Comme $-7a = 7\times (-a)+0$ on a bien que $7|-7a$ et ainsi $m \equiv 3a+b-2c [7]$ !
La question 3. c'est pareil, mais il faut surtout penser à utiliser ce que l'on vient de faire et ne pas repartir avec les grosses expressions de $n$ et $m$ (ça serait dommage !).
Pour la question 4. il faut se servir de la linéarité et bien démontrer que c'est une équivalence (un sens, puis l'autre).

On a d'abord montré dans la question 1. que $n\equiv 2a+3b+c [7]$, et on laisse ça de côté pour l'instant (ça nous servira plus tard).

Le début de la question 2. est bien : on veut effectivement montrer que $7|(3a+b-2c)-m$.
Ce qu'il faut faire à partir de là c'est trouver comment exprimer $m$. Ce que je veux dire par là c'est que si on note $n=\overline{abc}^{10} = 100a + 10b + c$, comment peut-on exprimer $m$ avec $a,b,c$ ? (Sachant que la définition de $m$ est : " la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités")

Comme j'ai dit plus haut, on pourra vérifier sur le cas particulier de $861$ pour être sûr de la formule.