Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Je pense que la question est le provient de l'absence d'image claire des différentes suites en jeu. Dans le cas contraire, la réponse serait immédiate. Que se passe-t-il pour une suite croissante ?

E.

$55$ et $25$ ne sont pas des valeurs infinies, pas plus que ne le sont le nombre d'atome de l'univers, ton âge, le mien ou $10 \uparrow \uparrow  \uparrow  10$ et, d'une manière générale, pas plus que ne l'est toute valeur finie.

L'expression $x \rightarrow + \infty$ n'a pas de sens en elle-même. Quand on la trouve dans le contexte des limites, elle n'est présente que pour signifier de quelle limite parle-t-on : s'il s'agit d'une limite en un point ou d'une limite en $+ \infty$.

On peut encore parler de limite d'une fonction en un point lorsqu'on manipule des espaces topologiques (et même des espaces filtrés par un filtre), où l'idée de point "proche d'un autre" fait encore sens. Lorsque $f$ est une fonction entre deux espaces topologiques, l'expression " $\lim_{x \to a} f(x) = b$" signifie encore que $f$ possède une limite au point $a$ et que cette limite est $b$, ou encore, pour employer le "français", que l'on peut rendre les valeurs $f(x)$ de $f$ aussi voisine qu'on veut dès lors que l'on prend $x$ suffisamment voisin de $a$.

Dans $\mathbf{R}$ (considérer comme un espace topologique), il n'y pas de différences conceptuelles entre une limite en un point et une limite en $+ \infty$ ou en $- \infty$. On peut toujours voir $+ \infty$ et $- \infty$ comme deux réels (qui ne sont plus finis). Prendre $x$ suffisamment voisin $+ \infty$ signifie alors prendre $x$ supérieure à un réel (fini) convenable (le plus souvent, il n'est nul besoin de le spécifier, son existence suffit).

Il n'y a ici, tant que l'on parle de convergence en un point (et l'on aura compris que $+ \infty$ est ici vu comme un point), aucune notion de "rapidité".

Toutefois, après avoir encore critiqué l'enseignement des mathématiques pour différentes raisons (je ne suis pas revenu dessus, mais dire que définir la fonction $\exp(x)$ comme une série entière permet de retrouver directement sa dérivée suppose que l'on puisse dériver "terme à terme" la série, et cela n'est pas vrai en général...), tu as soulevé un point, qui est exactement le propos introductif de Bourbaki (FVR, chap. V), et l'on peut difficilement faire plus clair :

Pour cela, on recourir à ce qu'on appelle des "relations de comparaisons" : fonction dominée par telle ou telle autre, fonction négligeable devant telle ou telle autre, fonction semblable à telle autre, fonction équivalente à telle autre. Dans tous ces cas, il s'agit de partir d'un certain nombre de fonctions, dont les comportement asymptotiques sont supposés connus. Par exemple, il peut s'agir des fonctions $x^n$ pour $n \geq 0$ ou même des fonctions $x^n$ pour tout entier $n$. À l'aide de ces fonctions, nous allons peut-être pouvoir traduire l'idée d'après laquelle la fonction $\exp(x)$ tend plus vite vers $+ \infty$ que chacune des fonctions $x^n$ (pour $n \geq 0$) : la fonction $\exp(x)$ est prépondérant devant toute les fonctions $x^n$, ou encore que chacune des fonctions $x^n$ est négligeable (dans le sens que l'intuition peut donner à ce mot) devant la fonction $\exp(x)$ : les fonctions $x^n$ représentent une part négligeable de la fonction $\exp(x)$. Ici, cela signifie que $\lim_{x \to \infty} x^n/\exp(x) = 0$. Les valeurs numériques permettent d'accepter ce résultat.

La notion de "comparaison" entre les fonctions est fort générale. Elle s'adapte finalement à chacune des intuitions que l'on peut avoir sur la rapidité d'une convergence.
Par exemple, on peut tout à fait décréter qu'une fonction positive (il faut mieux ici ne pas considérer les questions de signe) "tend rapidement vers $+ \infty$" (lorsque $x$ tend vers l'infini) si elle est prépondérante devant la fonction $x$. Pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $x^n$ tend rapidement vers l'infini, mais non la fonction $\ln(x)$.
On peut dire qu'une fonction tend "infiniment rapidement" vers $+ \infty$ lorsqu'elle est prépondérante devant chacune des fonctions $x^n$. Aucune des fonctions $x^n$ ne tend donc "infiniment rapidement" vers $+ \infty$. Les fonctions $\exp(x)$ et $\exp(x) \ln(x)$ tendent "infiniment rapidement" vers $+\infty$, etc.
On peut souhaiter dire qu'une fonction (toujours positive) "tend vers l'infini avec la même célérité avec laquelle Borassus est prompt à critiquer les programmes" si elle est prépondérante devant la fonction $\exp(x)$. Par exemple, la fonction $\exp(x^2)$ "tend vers l'infini avec la même célérité avec laquelle Borassus est prompt à critiquer les programmes", mais non la fonction $\exp(\sqrt{x})$.

On peut continuer ainsi pendant plusieurs heures. Il n'y pas de définition précise de "rapidité", et encore moins de "rapidité de convergences". C'est ce qu'on a pu essayer de te faire comprendre. Cela dépend, et les mathématiques, par leur propension à la généralisation, permettent de se donner un cadre satisfaisant pour contenter son intuition, en faisant, pour cela, un pas de coté et en abordant différemment le problème : il n'y a pas de "rapidité" en soi ; on ne peut que comparer les fonctions entre elles.

Bonjour à tous,

Je voudrais m'insurger un peu. J'ai suivi la conversion d'un peu loin, n'ayant pas de raison d'intervenir jusqu'à là. J'étais intervenu dans une précédente conversation pour les mêmes raisons qui me pousse à intervenir ici, mais je n'avais pas eu l'occasion de les développer.

Que l'on soit mathématicien ou non, professeur de mathématique ou non, étudiant en mathématique ou non, à tout le moins concerné par les mathématiques et participant à un forum, on a quand même le devoir d'un peu de rigueur, par respect pour ceux qui vont nous lire. On peut évidemment se tromper, mais on ne peut pas se permettre d'écrire des abominations au nom d'une vérité qui nous serait à nous seulement révéler.

Écrire ceci :

est une insulte non seulement aux mathématiques, mais surtout à ce qui se démène pour les enseigner. Les mathématiques ne sont pas du "français", pas plus qu'elles sont de l'anglais, de l'allemand ou du hittite. Il s'agit d'une matière scientifique, doter de ses propres références et de son propre langage, que l'on cherche à dépouiller de toute ambiguïté afin d'éviter tous les pièges que peut tendre l'intuition. Écrire :

montre que l'on ne comprend donc pas les mathématiques et ce qu'on y fait : que signifie l'expression (apparemment plus claire) "croît infiniment rapidement" ?, et c'est franchement embêtant pour un enseignant. Je pourrais même aller plus loin, et affirmer que refuser toute abstraction et tout formalisme au nom du respect d'une "intuition" revient à refuser tout raisonnement scientifique...

E.

Bonjour à tous et à toutes,

C'est dommage de vouloir donner la solution alors que Manal ne demande que des indications.

Ceci dit, que signifie qu'une suite de fonctions est bornée presque partout ? Spontanément, je dirais que cela signifie qu'il existe un ensemble $A$ dont le complémentaire est négligeable et telle que la suite des restrictions $f_n \mid A$ est uniformément bornée. Mais cela découle nullement de l'hypothèse faite.

E.

Bonjour à tous,

Il n'y en a pas.

Le fait de savoir si une application entre deux espaces localement convexes (ou deux espaces vectoriels topologiques) est continue dès qu'elle est bornée suppose déjà d'avoir une notion de "parties bornées" : https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_bo … opologique, à partir de laquelle on définit la notion de fonctions bornée.

Pour les espaces localement convexes, on peut démontrer que les espaces satisfaisant la propriété suivante "toute application bornée est continue" sont les espaces qui sont limites inductives d'espaces localement convexes normés. En dehors des espaces localement convexes, c'est encore moins simples. On doit parler d'espaces vectoriels "bornologiques", puis de "topologiques bornologiques". Le chap. 1 de "Théorie des bornologiques et applications" de Hogbe-Nlend traite rapidement de la question.

E.

Bonjour,

Je ne comprend pas le choix de la base de $H$. On n'a aucune raison d'avoir $\{e_1, e_2 \}$ ou $\{e_1, e_3\}$ ou $\{e_2, e_3 \}$ dans $H$. L'hyperplan $H$ est formé des $x = x_1 . e_1 + x_2 . e_2 + x_3 . e_3 $ tels que $f(x) = \alpha . x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + 0$. Donc l'équation est $x_1 . e_1 + x_2 . e_2 + x_3 . e_3  = 0$. C'est tout. Les autres relations en découlent si $\gamma \neq 0$.

E.

Bonjour tout le monde,

L'unicité ne vaut que si la topologie de départ est séparée. Il peut y avoir plusieurs topologies localement convexe sur un espace de dimension finie $n$ (les topologies images réciproques de $\mathbf R^p$ pour $p \leq n$).

Le résultat énoncé par Lune66 est une équivalence : pour qu'un espace normé soit de dimension finie, il faut et il suffit que sa boule unité soit compacte. On peut le voir comme un cas particulier d'un théorème plus général : un espace vectoriel topologique séparé $E$ sur un corps valué complet et non discret $K$ qui admet un voisinage de l'origine précompact est nécessairement de dimension finie. Inversement, si $K$ est localement compact et $E$ de dimension finie (et supposé séparé), $E$ est localement compact.

E.

Bonjour,

Le raisonnement n'est pas bon.

La spécificité ici est que les ensembles $\textrm{A}_n = [0, 1/n]$ forment une suite décroissante dont l'intersection est le singleton $\{0\}$. Donc, pour tout $x \neq 0$, il existe $n \geq 0$ tel que $x \notin \textrm{A}_n$. Comme la suite est décroissante, on a $x \notin \textrm{A}_p$ pour tout $p \geq n$. Pour $x \neq 0$, la suite des réels $f_n(x)$ est donc nulle à partir d'un certain rang, ce qui entraîne aussitôt qu'elle converge vers $0$. En revanche, pour $x = 0$, on a $f_n(x) = n$. La suite converge donc vers $+ \infty$ (ou ne converge pas selon le point de vu sur la convergence).

Pour l'instant, on n'a fait que calculer la limite simple d'une suite de fonctions. Il se trouve, dans notre contexte, que $\{ 0 \}$ est de mesure nulle. On peut donc dire que la suite $(f_n)$ converge presque partout vers la fonction $0$.

En revanche, si l'on considère une suite quelconque de fonctions $f_n = n . \textbf 1_{\textrm{A}_n}$, avec la seule indication que $\mu(\textrm A_n) \rightarrow 0$, on ne peut pas en déduire une convergence simple presque partout. On peut donner des exemples de suites qui ne converge en aucun point, malgré cette hypothèse.

E.

Bonjour,

Tout provient de la "formule du rang" :

$$ \dim \ker f + \dim \textrm {Im} f = \mathbf R^3 = 3$$

L'énoncé te donne des indications.
1) Que peux-tu déduire sur $g$ de $g^{-1}(\{ (0, 0, 0) \}) = (0, 0, 0)$, sachant que $g^{-1}(\{ (0, 0, 0) \}$ est le noyau de $g$ ?
2) Qu'elle majoration sur la dimension de $\textrm {Im} f $ peux-tu déduire de ce que $f^{-1}(\{(1, 0, 2)\}) = \emptyset$ ?
3) Qu'elle minoration sur la dimension de $\ker f $ peux-tu déduire de ce que $f(1, 1, 1) = (0, 0, 0)$ ?

E.

Bonjour à tous,

La fonction $\Pi$ est une "droite" :
$$\Pi(Q) = (p - \alpha) Q.$$
Donc :

1) Si $p = \alpha$, $\Pi$ est identiquement nulle, et n'importe quelle quantité $Q$ maximise le profit.
2) Si $p < \alpha$, la quantité qui maximise le profit est $Q = 0$, puisque $Q \geq 0$.
3) Si $p > \alpha$, $\Pi$ est une fonction strictement croissante de $Q$. Il n'y a donc pas de maximum, sauf si on autorise $Q = + \infty$. En principe, il y a une contrainte $Q \leq$ un certain volume. Ce volume est donc la solution.

E.

Bonjours à tous,

Je suppose qu'il est question d'espaces vectoriels réels (ou complexes). On peut procéder de la façon suivante. Désignons par $\mathrm{N}_u$ la norme $(x_i) \longmapsto \sum_{i = 1}^n | x_i |$ sur $\mathbf{R}^n$, et $d$ la distance correspondante.

1. Démontrer que $(\mathbf{R}^n, d)$ est un espace métrique complet. (Remarquer que les projections canoniques $\mathrm{pr}_j$ sont uniformément continues.)

2. Soient $(\mathrm{X}_1, d_1)$ et $(\mathrm{X}_2, d_2)$ deux espaces métriques, et soit $f$ une bijection uniformément continue de $(\mathrm{X}_1, d_1)$ sur $(\mathrm{X}_2, d_2)$, dont la réciproque est uniformément continue. Démontrer que $(\mathrm{X}_1, d_1)$ est complet si, et seulement si, $(\mathrm{X}_2, d_2)$ est complet.

3. Soit $\mathrm N_1$ et $\mathrm N_2$ deux normes équivalents sur $\mathrm E$. Démontrer que $(\mathrm{E}, \rm N_1)$ est un espace normé complet si, et seulement si, $(\mathrm{E}, \rm N_2)$ est un espace normé complet.

4. Soit $\rm E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 0$, et soit $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base du dual de $\rm E$. Démontrer que l'application $x\longmapsto \sum_{i = 1}^n | f_i(x) |$ est une norme $\rm N$ sur $\rm E$, et que $(\rm E, \rm N)$ est un espace normé complet. (Remarquer que l'application $ x \longmapsto (f_1(x), \ldots, f_n(x))$ est une isométrie de $(\mathrm{E}, \mathrm{N})$ sur $(\mathbf{R}^n, \mathrm N_u)$.

5. Conclure.

BigDeal, il y a un (gros) problème dans ta preuve, au niveau du 3e paragraphe. Reprend la définition d'une suite convergence pour la trouver.

E.

Bonjour,

Tout ensemble appartenant à $\rm A$ est un ouvert $\scr T'$. Donc, toute intersection finie d'ensembles de $\rm A$ est une intersection finie d'ouverts de $\scr T'$, donc un ouvert de $\scr T'$ ; donc, $\rm B$ est formé d'ouverts de $\scr T'$.

E.