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Bonjour Fred,
La méthode que tu m'as proposée au post 2 est très bonne, seulement dans mon exercice il m'était demandé de m'aider de la convergence normale de  [tex]\sum^{\infty }_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}pour\,t\in \left[-1,1\right]\,[/tex]
La convergence normale m'est donnée: [tex]\sum^{\infty }_{n=2}\left\|\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right\|=\sum^{N}_{n=2}{\sup }_{t\in \left[-1,1\right]}\left|\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right|=\sum^{N}_{n=2}\left|\sin \frac{1}{\sqrt{n}}-\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\right|\leq \sum^{N}_{n=2}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\,[/tex]
La dernière inégalité tend vers 1 quand N tend vers l'infini. Donc la série converge normalement sur [-1,1].
Je voulais donc utiliser ce résultat pour (1-t)S(t) quand t tend vers 1 à gauche, je n'y suis pas arrivé.
Comme tu me le proposes, on peut utiliser le théorème d'interversion de limite, d'abord en t tend vers 1^- puis quand N tend vers l'infini, je ne suis pas arrivé.

Là, ça ne marche plus, le résultat devient contradictoire!

Hello, je crois avoir trouvé!
[tex]\left|\left(1-t\right)S\left(t\right)\right|=\left|t\left({a}_{1}-{a}_{N}{t}^{N}\right)+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right|\leq \frac{1}{\sqrt{N}}-1+\sum^{N}_{n=2}\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\,[/tex]
Fred est-ce que tu peux me rassurer, si c'est juste ce que je viens de faire. Merci!
Valentin

Bonjour,
Le problème est que les trois termes doivent tendre vers 0 quand t tend vers 1 à gauche. Or, ici dans mon poste 9, le premier terme tend vers sin(1) quand t tend vers 1^-, le deuxième terme tend vers 0 quand N tend vers l'infini et le troisième terme tend vers 1 quand N tend vers l'infini: [tex]{\lim }_{N\rightarrow \infty {}^{}}\left(1-t\right)S\left(t\right)={\lim }_{N\rightarrow \infty }\left({a}_{1}t-{a}_{N}{t}^{N}+\sum^{N}_{n=2}\left({a}_{n}-{a}_{n-1}\right){t}^{n}\right)={a}_{1}t+1\,[/tex]
a₁t+1 tend vers sin(1)+1 quand t tend vers 1^-, qui ne pourrait pas s'annuler. Mon raisonnement est peut-être absurde, je ne sais pas.

En fait j'avais juste majoré. Sinon je trouve ça: [tex]\left(1-t\right)\sum^{}_{n\geq N}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)t^{n}\leq\left(1-t\right)\epsilon\sum^{}_{n\geq N}{t}^{n}\leq\epsilon\left(1-t\right)\frac{t^N}{1-t}[/tex]
Est-ce que c'est juste ou pas?

Bonsoir à tous,
Merci Yoshi de m'avoir corrigé. En effet, dans ma formule, il y a eu des parenthèses ouvrantes en trop. Désolé. Par contre, c'est peut-être mon ordinateur, l'éditeur d'équation en ligne ne fonctionne pas sur mon ordinateur: il s'ouvre, j'écris les donnés puis je clique sur "insérer " dans le message, il se bloque!...
Merci Fred!
Pour la deuxième partie, en utilisant l'encadrement de sin, je trouve :
[tex]\left(1-t\right)\sum^{}_{n\geq N}\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right){t}^{n}\leq \left(1-t\right)\epsilon {t}^{N}[/tex]

Finalement ce que je n'avais pas bien compris était : comment trouver le vecteur directeur d'une droite. Ici, si la droite est l, soit D et E appartenant à la droite l, le vecteur   [tex]\overrightarrow{DE}=\left(0,2,0,2\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}[/tex] est un vecteur directeur de la droite l, mais  il peut y avoir une infinité de vecteurs directeurs de la droite l de même aussi pour le vecteur directeur de l1...
Valentin

Alors, ici, ça ne marche pas, puisque les 4 vecteurs formés par les points A,B,C,D,E et A1,B1,C1,D1,E1 sont liés.
Je poste ici, la correction du prof:
Les points A,B,C et L=(0,2,2,1) appartient à la droite l sont affinement indépendants ainsi que les A1,B1,C1 et L1=(-1,2,0,3) appartient à la droite l1. Par conséquent, il existe une transformation affine bijective (non unique)  [tex]f:{\mathbb{R}}^{\mathbb{4}}\rightarrow {\mathbb{R}}^{\mathbb{4}}[/tex] transformant A,B,C,L en A1,B1,C1,L1. On démontre que f(l)=l1. En effet, les droites f(l) et l1 ont un point commun, à savoir L1. Vu que le vecteur AC-2AB est un vecteur directeur de la droite l, le vecteur A1C1-2A1B1 est un vecteur directeur de la droite l1 ce qui montre que f(l)=l1.
Je ne comprends pas cette réponse. "Affinement indépendants" revient à dire linéairement indépendants: la famille de 4 vecteurs est libre? Or, d'après mes calculs, (à moins que je me sois trompé), la famille de ces 4 vecteurs est liée.
Valentin

[tex]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\,forme\,une\,famille\,libre\,et\,\left(\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}},\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}\right)\,est\,libre[/tex]
Mon éditeur d'équation ne fonctionne plus.
Coordonnées de vecteurs:
AB=(1,2,1,2)
AC=(2,1,2,1)
AD=(0,-1,1,-1)
AE=(0,1,1,1)
A₁B₁=(1,3,1,3) ; A₁C₁=(3,1,3,1) ; A₁D₁=(0,1,1,2)
A₁E₁=(1,-4,2,-3).
Je ne vois pas trop en quoi est -ce une transformation affine !

3)[tex]\frac{x}{1+{x}^{2}}\leq f\left(x\right)\leq -\frac{x}{1+{x}^{2}}[/tex], et d'après le théorème des Gendarmes,[tex]\lim _{x \mapsto -\infty}f\left(x\right)=0[/tex]

[tex]{\lim }_{x\rightarrow -\infty }-x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}-2x=+\infty ,car\,{\lim }_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}=1[/tex]