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Pour résumer et essayer d'être clair,

Pour la 2) je ne sais pas (après avoir essayé plusieurs méthodes) comment montrer que $f_n (x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k)$ converge simplement vers une fonction $f: R \rightarrow R_+ U \left\{+\infty \right\} $ non bornée sur tout intervalle ouvert non vide de $R$

Si vous pouviez m'écrire votre raisonnement/ réponse cela m'aiderait beaucoup.

Pour la 3) vous m'aviez dit que pour montrer que $f(x) < +\infty$ il fallait montrer que $f$ est intégrable.
Et pour montrer que $f$ est intégrable il faut montrer que

i) $f$ est mesurable (c'est le cas ici car $f_n$ est mesurable donc f est la somme de fonctions mesurables donc f est mesurable (il me semble que cette propriété existe).

ii) $\int_R |f(x)| dx$ est fini
Or $f(x) = \sum_{n \geq 1} f_n$ donc il faut que je montre que $\int_R |\sum{n \geq 1} f_n| dx < +\infty$ autrement $\int_R |\sum{n \geq 1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k) | dx < +\infty$

Et ma question est donc comment montrer que $\int_R |\sum{n \geq 1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2^k} \phi(x -r_k) | dx$ est fini ?

Bonsoir Fred,

1) Oui exacte j'oublie toujours que la continuité implique la mesurabilité !

2) A vrai dire je ne sais pas comment utiliser que $k \rightarrow r_k$ est une bijection.
A part dire que $k \rightarrow r_k$ est surjectif . Je vois bien qu'on "part de $N$ pour aller dans $Q$" mais je ne vois pas ce qu'on peut en déduire ...

3)

C'est-à-dire que mon raisonnement où j'avais posé $f(x) = \sum_{n \geq 0} f_n$ était correcte ?

Si c'est le cas, on a montré à la 1) que $\phi$ est intégrable sur $R$

De plus, $\frac {1}{2^k}$ est mesurable et $\int_{0}^{1}{\frac{1}{2^k}}dk = [-\frac{1}{ln(2).2^k}]_0^1 = \frac{1}{2ln(2)} < + \infty$ (je ne suis pas sûr des bornes)
Donc $\frac {1}{2^k}$ est intégrable

Donc $f_n$ est intégrable
Donc $f$ est intégrable donc en particulier $\int{ |f|} < + \infty$ (je ne sais pas les bornes ...) donc $f (x) < + \infty$

Bonjour,

Mais est-ce nécessaire de le marquer vu qu'on sait ce que vaut l'intégrale. Par exemple :
[tex]U_1=  \oslash[/tex] et [tex]U_2= X[/tex] alors [tex]U_1 \bigcap U_2 = \oslash[/tex] et on sait que [tex]\oslash[/tex] est un ouvert et même qu'il appartient à [tex]T[/tex]

Merci d'avance !

J'ai une question pour rebondir sur ce sujet aussi. Si je veux déterminer dans [tex](X,T)[/tex] avec je rappelle [tex]X=R^2[/tex] et [tex]T[/tex] défini comme plus haut, l'adhérence et l'intérieur par exemple de[tex] A=[/tex] [tex]R^2[/tex]\ [tex]\left\{(0,0) \right\}[/tex].

On "voit" bien que c'est un ouvert parce que son complémentaire [tex]A^c[/tex] c'est le singleton [tex]\left\{(0,0) \right\}[/tex] qui est fermé. Pas du tout, je reprends !
On "voit" que [tex]A[/tex]  est un ouvert parce que c'est [tex]R^2[/tex] privé d'un point. Après je n'arrive pas à l'écrire mathématiquement. Si c'était [tex]R[/tex], j'aurais pu écrire : [tex]A= ]-\infty, 0[ U ]0, +\infty[[/tex]
Peut-on alors dire que vu que [tex]A[/tex] est un ouvert alors [tex]A=A^°[/tex] où [tex]A^°[/tex] désigne l'intérieur
Et [tex]\bar{A} = R^2[/tex].

En fait je ne sais pas si [tex](X,T)[/tex] sert à quelque chose pour déterminer l'adhérence et l'intérieur.

De même si note [tex]B=[/tex] { [tex](x,y) \in R^2 | xy \neq 1[/tex] }.
On voit bien que B est un ouvert donc [tex]B=B^°[/tex] mais [tex]\bar{B} = ?[/tex] je pense à [tex]R^2[/tex] mais je n'arrive pas à le montrer

Excusez-moi j'ai une dernière question.
C'est vrai j'ai fait sans réfléchir parce que j'utilisais d'Alembert mais quand on trouve la limite pour les différents [tex]\alpha[/tex] pour trouver R on fait toujours [tex]1\R[/tex] ?

Bonjour !

C'est vrai que revenir à la définition si je puisse dire me parait une bonne idée. Avant tout je tiens à m'excusez j'ai fait une faute dans l'énoncé la puissance c'est [tex]n^\alpha[/tex]. La voici écrite correctement : [tex]\sum_{n>=1}({1-\frac{1}{2n^2}})^{n^\alpha}z^n[/tex]

Je ne comprends pas comment vous avez procédé pour trouver [tex]a_nr^n[/tex]
En effet si je fais un DL en 0 d'odre 1 de [tex]ln(1-\frac{1}{2n^2})[/tex] alors je trouve [tex]\frac{-1}{2n^2}[/tex]

De plus, je vois bien qu'il y a 3 cas. Mais personnellement j'aurais fait avec [tex]\alpha<2+\infty [tex]\alpha=2[/tex] et [tex]\alpha>2[/tex]

Cependant quand j'aurais vérifié votre DL et que j'aurai compris qui faut faire [tex]\alpha[/tex] selon 3

Pour le cas1, je suis tout à fait d'accord avec vous !
Pour le cas 2, je vois bien que [tex]nln(r)[/tex] domine or [tex]\lim_{n->\infty} nln(r) = +\infty[/tex] pour tout r (on peut peut-être parler de croissance comparée) Donc [tex]R=0^+[/tex]
Pour le cas 3, cela revient à [tex]exp(-\frac{n^2}{2} +nln(r)) = exp(n(-\frac{1}{2}+ln(r))[/tex] donc [tex]\lim_{n->\infty} exp(n(-\frac{1}{2}+ln(r))[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] pour tout r

Je vous remercie sincèrement pour votre aide !

Je vous souhaite une bonne journée,
Bien cordialement,
Corentin

Bonjour,

Vous vouliez dire une équivalence comme celle-ci ?

[tex]\mid \frac {(-1)^n}{\sqrt{n}}*cos\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\mid = \mid \frac {(-1)^n}{\sqrt{n}}\mid \mid cos{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} \mid \sim \frac {1}{\sqrt{n}}[/tex]