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Bon soir mon amie merci pour votre observation
j'ai des difficultés en :
1) comment démontrer que R²  appartient à & est que est une ouverte comme R ?
2) toute élément de D_r est fermé par ce que le sphère et fermé pour ouvert est ce que j'utilise le complément c'est une réunion de deux boules ouvert
3) & moins fine que P(R²) parce que  & inclus dans  P(R²)
4)commment je trouve Va et Vb leur intersection est l'ensemble vide
8) Les valeurs d'adhérence sont (3,4) et (1,2)
9) pour cette question je bloque
aidez moi s'il veut palis
6) La nature de suite  c'est une suite diverge car sin n et cos n diverge

Bon jour aidez moi pour la solution de ce exercice sois sur le forum ou dans  un livre ou un fichier Pdf
On pose :

D_r={(x,y) appartient a R2:x^2+y^2=r, r appartient a R+}
et on note &  la famille constituée de l'ensemble vide et de toutes les réunions des éléments
1) Montrer que (R2,&) est un espace topologiques.
2)Montrer que tous éléments de D_r est,à la fois,ouvert et fermé
3) Comparer & et la topologie discrète P(R2)
4) l'espace (R2,&) est-il séparé?justifier
On pose A=[-1,1] fois  [-2,2]
5)Donner deux ouverts de la topologie induite T(A),qui ne sont ni vides ni coïncidant avec A
6) étudier dans (R2,&)la nature de de la suite (U)n=((sin n,cos n))et déterminer les valeurs d'adhérence de la suite (v)=(((-1)n+2,(-1)n+3))
7) on considère l'application de projection p1 : (R2,&) ----------(R,|.|)
(x,y)------ p1(x,y)=x
8)Etudier la continuité de p1 en tous point de son ensemble de définition