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Salut à toi Justin

Tu m'as l'air d'avoir l'esprit passablement embrouillé, jeune padawan. Je commencerai par te signaler que l'intégrale d'une fonction réelle sur un intervalle réel n'est pas non plus une surface, mais une différence entre deux surfaces. L'intégrale d'une fonction complexe sur un intervalle réel est donc constituée de deux différences de deux surfaces.
Plus de détails dans ce sujet, le tout dernier post.

Pour ce qui est des intégrales curvilignes, la subtilité est dans le terme "courbe" qui désigne en fait des courbes paramétrées (qui ne sont pas des courbes au sens usuel). Il est pratique de voir les courbes paramétrées simplement comme leur image géométrique à laquelle on adjoint une orientation. Mais cette vision a ces limites : la courbe qui fait 30 fois le tour du cercle unité a même image géométrique que celle qui n'en fait qu'une fois le tour.
En fait il faut vraiment voir ces courbes paramétrées comme des fonctions qui vont immerger un intervalle réel dans le plan complexe. Regarder l'intégrale curviligne d'une fonction sur une telle courbe consiste alors à tirer en arrière la fonction par la paramétrisation pour aller l'intégrer dans R. J'ai peur hélas que cette interprétation géométrique soit d'un niveau trop élevé pour toi, il faudra attendre l'an prochain ;-)