Forum de mathématiques - Bibm@th.net

C'est quand même très simple !
je veux montrer que $(\forall x \neq 0, \varphi(x)=0) \implies \varphi = 0$.
Donc,je commence par supposer que la prémisse de l'implication est vraie. Comme manifestement $\dfrac{1}{n} \neq 0$, alors $\varphi(\dfrac{1}{n})=0$
Ce qui permet de conclure, c'est la continuité de $\varphi$. Elle ne peut pas être nulle proche de $0$ et non nulle juste en $0$. La limite permet d'exprimer ça.
On peut se passer de ça et exprimer juste le fait que $\varphi$ étant continue en $0$, si est non nulle en zéro, alors elle est forcément non nulle sur un voisinage de $0$, et ce voisinage contient forcément des éléments non nuls.

$\{0\}$ est de mesure nulle (et pas seulement finie).
Prends simplement $\varphi(0)=\lim_{n \to \infty} \varphi(\dfrac{1 }{n}) = 0$ car $\varphi(\dfrac{1 }{n})=0$ pour tout $n$

Petit exercice : montrer que $(\forall x \neq 0, \varphi(x)=0) \implies \varphi = 0$

Tu as un peu l'idée mais tu écris des choses incorrectes (pourquoi $x_n \in K$ ? On a dit que $K$ était quelconque, et qui parle de limite ?)
Si tu reprend :
$\varphi \neq 0$, donc $\exists x_0 \neq 0$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$
On note $x_n=nx_0$. On a alors $\theta_n(x_n) = \dfrac{\varphi(x_0)}{n} \neq 0$.
Soit $K$ un compact quelconque. Alors, $\exists R > 0$ tel que $K \subset [-R,R]$.
Soit $n_0$ tel que $n_0 > \dfrac{R}{|x_0|}$, alors $|x_{n_0}|=n_0|x_0| > R$ et donc $x_{n_0} \notin K$.
Comme $\theta_{n_0}(x_{n_0}) \neq 0$, alors $Supp(\theta_{n_0}) \nsubseteq K$. CQFD.

Prends un $x_0$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$ (je suppose bien sûr que $\varphi \neq 0$)
Et considère $x_n=nx_0$.
Que vaut $\theta_n(x_n)$ ?
Prend un compact $K$ quelconque, peux-tu trouver un $x_n$ qui n'est pas dans $K$ ?

Non, ce n'est pas correct.
Relis ce que je t'ai dit de démontrer.
Si tu lis $\forall K$ compact, ta démonstration doit commencer par : Soit $K$ un compact quelconque.
Ensuite, ça se poursuit par $\exists n$, il faut donc que tu trouves au moins un $n$ qui vérifie la condition demandée. Il suffit d'en trouver un.
Il faut également que tu précises ce que c'est que le $R$ dont tu parles.

C'est la bonne condition. Tu n'as pas montré que les $\theta_n$ la respectent.
Tu as écris $Supp \theta_n \subset [-nR,nR] \subset [-R_1,R_1]$, tu as "caché" la dépendance à $n$ en écrivant $R_1$ mais en réalité $R_1$ dépend de $n$ (il faut avoir $R_1 \ge nR$, tu ne pourras pas trouver un $R_1$ qui marche pour tous les $n$).

Indication donc : il faut que tu montres que cette condition n'est pas respectée.

La condition dit :
$\exists K \text{ compact } \forall n, Supp(\theta_n) \subset K$

Tu dois donc montrer que
$\forall K \text{ compact } \exists n, Supp(\theta_n) \nsubseteq K$