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Yassine · 04-12-2016 12:06:28

Oui.
Elle sert à ramener l'étude de l'intégrale $\int_{\Omega} f\varphi d\mu$ à celle de l'intégrale $\int_{K} f d\mu$ où $K$ est un compact.

tina · 04-12-2016 11:37:49

Mais la fonction platau sert à quoi au juste? Elle sert uniquement à montrer que $<T,\varphi>$ n'est pas bien définie, et que par conséquent $T$ n'est pas une distribution. C'est bien ça?

Yassine · 04-12-2016 11:31:35

Je pense que tu utilises sans le savoir un argument qui n'est pas évident (qui est juste).
On a dit que dans le cours, on voit que $f \in L^1_{loc}(\Omega) \Rightarrow T_f \in \mathcal{D}'(\Omega)$ (implication)
Mais si tu as $P \Rightarrow Q$, tu n'as pas forcément que $non(P) \Rightarrow non(Q)$.
Il faut donc montrer que $f \notin L^1_{loc}(\Omega) \Rightarrow T_f \notin \mathcal{D}'(\Omega)$. Ce qui revient peu ou prou au contre-exemple que j'ai donné avec la fonction plateau.

tina · 04-12-2016 11:06:05

Ah ok, merci beaucoup.
Donc, pour répondre à l'exercice, on dit que
1. Dans le cas où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}$, la fonction $x \to \dfrac{1}{x}$ n'est pas localement intégrable sur $\mathbb{R}$ car elle n'est pas intégrable au voisinage de zéro, et par conséquent, elle ne définit pas une distribution sur $\mathbb{R}$.

2. Dans le cas où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^\star_+)$, la fonction $x \to \dfrac{1}{x}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^\star_+$, elle définie donc une distribution sur $\mathbb{R}^\star_+.$

C'est correct? Et s'il vous plaît, dans mon autre post intitulé question 1, est ce qu'on a besoin de faire le calcul que je cherche à faire?
Je vous remercie par avance.

Yassine · 04-12-2016 10:56:04

Tu as dû voir dans ton cours que toute fonction $f \in L^1_{loc}(\Omega)$ définit une distribution dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ notée $T_f$ ou simplement $f$ s'il n'y a pas de risque de confusion.
Tu n'a pas à redémontrer tout ça. Il faut juste dire que $f: x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^*_+$

tina · 04-12-2016 10:42:09

Je ne comprend pas très bien. On éctit pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^\star_+)$ on peut donc supposer que $\mbox{Supp} \varphi \subset [a,R]$ où $a>0$ on a:
$$
\langle T,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^\star_+} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \displaystyle\int_a^R \dfrac{\varphi(x)}{x} dx < +\infty
$$
ce qui montre que T est bien définie.
d'autre part, il est clair que T est linéaire et continue sur $\mathbb{R}^\star_+$, donc $T$ est une distribution sur $\mathbb{R}^\star_+$.
C'est correct? S'il vous plaît.

Yassine · 04-12-2016 10:02:05

Je ne suis pas sûr de bien comprendre.
D'abord, si c'est en relation avec $\dfrac{1}{x}$, on n'a pas besoin qu'elle soit intégrable sur $\mathbb{R}^*_+$ (elle ne l'est pas) mais juste localement intégrable, c'est à dire intégrable sur tout compact $K \subset \mathbb{R}^*_+$.

De manière générale, pour l'intégrale de Lebesgue, on considère plutôt $\bar{\mathbb{R}}$ comme ensemble cible, ce qui permet d'écrire $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^*_+} \dfrac{1}{x}dx = +\infty$. Une fonction est dite intégrable si $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^*_+} fd\mu < +\infty$ et une fonction $f$ est intégrable sur une partie $A$ si la fonction $f\chi_A$ est intégrable ($\chi_A$ étant la fonction indicatrice de l'ensemble $A$).

tina · 03-12-2016 21:10:19

Mais dans le cas de $\mathbb{R}^*_+$, on n'écrit pas une intégrale de 0 à $+\infty$. Il faut écrire de $\epsilon$ à+\infty$. Non?

Yassine · 03-12-2016 20:29:58

Il n'y a pas de problème particulier vu que $\dfrac{1}{x}$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^*_+$ !

tina · 03-12-2016 19:52:59

Oui, c'est plus logique que ce soit $\mathbb{R}^{\star}_+$. Et comment on raisonne ici? S'il vous plaît.

Yassine · 03-12-2016 17:46:48

Tu prends une fonction plateau $\varphi$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ par exemple, de support $[-2,2]$ et qui soit positive sur $[-2,2]$.
Alors $\displaystyle \int_{[0,2]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx \ge \int_{[0,1]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx$ car $\varphi$ est positive.
Soit encore, comme $\varphi$ vaut $1$ sur $[-1,1]$ :
$\displaystyle \int_{[0,2]} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx \ge \int_{[0,1]} \dfrac{1}{x}dx \to +\infty$

Pour le cas $\mathbb{R}^+$, j'ai un doute, normalement, dans la définition de $\mathcal{D}(\Omega)$ on doit choisir comme espace $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, or, $\mathbb{R}^+$ n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}$ (il ne contient pas de voisinage de $0$). Es-tu sûr que ce n'est pas $\mathbb{R}^*_+$ ?

tina · 03-12-2016 17:19:50

Oui, j'y ai pensé mais dans ce cas, comment on découpe l'intégrale $\displaystyle\int_0^R \dfrac{\varphi}{x} dx$? ou bien on considère que $[0,R]$ tout entier est un voisinage de 0, et on dit que si $\varphi$ est une fonction test qui vaut $1$ au voisinage de 0, alors on a:
$$
\langle T, \varphi \rangle = \displaystyle\int_0^R \dfrac{1}{x} dx,
$$
cette intégrale est divergente donc T n'est pas bien définie, ce qui montre que ce n'est pas une distribution sur $\mathbb{R}$.

Pour le cas où $\varphi \in \mathbb({R}^+)$, ça inclus le cas $x=0$, donc pour que ce soit une distribution, il faudrait que $\varphi$ soit une fonction test de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^\star)$. Non? Je n'arrive pas à écrire corectement comment enlever le 0 des bornes de l'intégrale si $\varphi$ est une fonction test sur $\mathbb{R}^\star$.
Merci pour votre aide.

Yassine · 03-12-2016 17:11:04

Pour montrer que ce n'est pas une distribution, il suffit de montrer qu'elle n'est pas définie pour une fonction test particulière.
Tu peux donc en choisir une qui t'arrange, et ici, comme le problème se passe autour de $0$, tu peux en choisir une qui vaut $1$ sur un voisinage de $0$.

tina · 03-12-2016 12:45:54

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant. Soit la fonction $f$ définie par
$$
f(x)
=
\begin{cases}
\dfrac{1}{x} &:x >0\\
0 &: x \leq 0
\end{cases}
$$
la question est de montrer que la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx
$$
ne définie pas une distribution sur $\mathbb{R}$
et que la relation
$$
\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^+): \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx
$$
définie une distribution sur $\mathbb{R}^+$.

Alors voilà, je commence par prendre une fonction test $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ quelconque, et on a:
$$
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) dx = \displaystyle\int_0^R \dfrac{\varphi(x)}{x}dx
$$
mais après, que faire? S'il vous plaît.

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