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Bonsoir,

  Ouh là, là, mais c'est de la vraie topologie comme on n'en fait plus, avec des espaces topologiques qui ne sont même pas des espaces métriques... Pas si facile donc!
Bon alors je reprends question par question :

A) 1) Le plus facile est de démontrer que le complémentaire est ouvert. On pose donc
[tex] A=\{x\in E;\ f(x)\neq g(x)\}[/tex] et soit [tex]x_0\in A[/tex].
Puisque Y est séparé, il existe U voisinage ouvert de f(x_0) et V voisinage ouvert de g(x_0) avec [tex]U\cap V=\varnothing[/tex].
Alors [tex]f^{-1}(U)[/tex] est un ouvert contenant x_0, et [tex]g^{-1}(V)[/tex] est un ouvert contenant x_0.
Posons donc [tex]W=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)[/tex]. C'est un ouvert contenant [tex]x_0[/tex], et je te laisse vérifier qu'il est contenu dans A.

2) Ton raisonnement serait correct si ton espace était un espace métrique. Mais dans un espace topologique général, on ne peut pas procéder ainsi, car on ne peut pas caractériser le fait d'être dense par des suites. Une partie est dense si tout ouvert non vide intersecte cette partie.
Dans le cas général, il faut utiliser la question précédente. En gardant les mêmes notations, A est à la fois dense et fermé.
Son complémentaire est un ouvert. S'il était non vide, il intersecterait A, ce qui n'est pas possible car un ensemble et son complémentaire ne peuvent pas s'intersecter.

B) Je vais le faire dans le cas où X et Y sont tous les deux ouverts. Soit U un ouvert de f. Je note [tex]f_X,f_Y[/tex] les restrictions de f à X et à Y. Alors [tex]f^{-1}(U)=f_X^{-1}(U) \cup f_Y^{-1}(U)[/tex]. De plus, [tex]f_X^{-1}(U)[/tex] est un ouvert de X qui est lui-même un ouvert de E. [tex]f_X^{-1}(U)[/tex] est donc un ouvert de E.

Tout ceci est assez délicat, et je te recommande vivement de relire ton cours sur les espaces topologiques généraux (qu'est qu'un ouvert, un fermé, etc...) - sans les suites!!!

Fred.