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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 08-12-2013 09:36:04
En gros oui...
- dh8
- 07-12-2013 23:17:43
Bon.
Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors on a: [tex]g(x)[/tex] équivaut au voisinage de zéro à [tex]g(0)[/tex], et donc [tex]g(x) x^{\alpha+1}[/tex] es équivalent au voisinage de zéro à [tex]g(0) x^{\alpha+1}[/tex] et donc l'intégrale est égale à [tex]g(0)[\dfrac{x^{\alpha+2}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex]
Si [tex]g(0)=0[/tex], alors [tex]g(0)[/tex] équivaut au voisinage de zéro à [tex]g'(0)x[/tex].
C'est ca les deux cas qu'il faut distinguer et le raisonnement à suivre?
Merci beaucoup.
- dh8
- 07-12-2013 22:44:43
Pardon d'abuser de votre patience, mais juste ce dérnier point. On doit regarder si cette intégrale existe quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0.
Pour ca, si [tex]g(0)=0[/tex] alors pas de problème. Et si [tex]g(0)\neq 0[/tex]? Qu'est ce qu'on dit? et comment on devine qu'il faut distinguer ces deux cas?
- Fred
- 07-12-2013 22:37:55
Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est équivalente au voisinage de zéro à [tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex], donc l'intégrale devient égale à [tex]g0)[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex] qui est fini.
Mais tu t'en fous que cette quantité là soit finie. Tu t'intéresses à son comportement quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0!!!!!!!!!!
Et ca tend vers l'infini si [tex]\alpha=-3/2[/tex] par exemple!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si [tex]g(0)=0[/tex] et disons pour simplifier [tex]g'(0)\neq 0[/tex], alors [tex]g(x)\sim_0 g'(0)x[/tex] et cette fois, quand tu as fini d'intégrer,
tu récupères non pas [tex]\epsilon^{\alpha+1}[/tex] mais [tex]\epsilon^{\alpha+2}[/tex]. Et cette quantité tend cette fois vers 0 lorsque [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0!!!!!!!!!!!
- dh8
- 07-12-2013 22:25:49
Si [tex]g(0)\neq 0[/tex], alors [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est équivalente au voisinage de zéro à [tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex], donc l'intégrale devient égale à [tex]g0)[\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+2}]_{\epsilon}^n[/tex] qui est fini.
Si g(0)=0. Qu'est ce qu'on dit exactement dans ce cas s'il vous plait?
- Fred
- 07-12-2013 22:16:17
Parce que si [tex]g(0)=0[/tex], c'est plus facile de prouver la convergence de l'intégrale (le fait que g(0)=0 fait que
[tex]x^{\alpha+1}g(0)[/tex] est moins gros en 0.
- dh8
- 07-12-2013 22:10:37
mais on a distingué les cas selon g(0). Pourquoi?
- Fred
- 07-12-2013 21:26:55
Si [tex]\alpha=-3/2[/tex], l'intégrale [tex]\int_{\epsilon}^{1}x^{\alpha+1}dx[/tex] n'admet pas de limite quand [tex]\epsilon[/tex] tend vers 0. Et cette fonction n'est pas bornée au voisinage de 0.
F.
- dh8
- 07-12-2013 21:22:38
Je ne comprend pas.. Quand g(0) n'est pas égal à 0 alors on dire que [tex]x^{\alpha +1}[/tex] est borné. Non? Pouvez-vous m'expliquer cette partie svp.
Merci beaucoup
- Fred
- 07-12-2013 21:06:12
Mais ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale n'est pas bornée.... ([tex]\alpha+1[/tex] peut très bien être strictement négatif).
- dh8
- 07-12-2013 10:55:50
Après une nuit, j'y repense à cette intégrale [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^R x^{\alpha+1}g(x)dx[/tex]. On ne peut pas dire que ce qu'il y'a à l'intérieur de l'intégrale est borné, donc la limite existe. Mais, ce que finalement je n'arrive pas à comprendre, c'est l'idée utilisée pour montrer l'existence de cette intégrale.
Pourquoi faire des suppositions sur g(0)? Si [tex]g(0) \neq 0[/tex] ou bien [tex]g(0)=0[/tex]? C'est quoi l'énchainement logique et naturel de l'idée utilisée pour montrer que la limite existe?
Merci beaucoup.
- dh8
- 06-12-2013 22:26:51
Merci infiniment pour toutes ces explications très claires.
- Fred
- 06-12-2013 21:39:07
Non, ce n'est pas cela. Ta fonction est bien bornée sur [tex] [\epsilon,R] [/tex], mais ta majoration dépend de [tex]\epsilon[/tex], ce qui ne t'aide pas si tu fais tendre [tex]\epsilon[/tex] vers 0.
Je te donne un exemple. La fonction [tex]\frac 1x[/tex] est bornée sur [tex] [\epsilon,1] [/tex] pour tout [tex]\epsilon>0 [/tex]. On appelle la borne [tex] M(\epsilon) [/tex]. Ainsi, on a
[tex]\int_{\epsilon}^1 \frac 1tdt\leq M(\epsilon) [/tex].
Et pourtant, si tu fais tendre [tex]\epsilon [/tex] vers 0, le membre de gauche tend vers [tex]+\infty [/tex].
F.
- dh8
- 06-12-2013 19:49:47
Pour 2), on utilise le fait que "une fonction continue sur un compact est bornée" seulement et uniquement quand les bornes sont des nombres finies. Sinon, si les bornes ne sont pas finies 'comme ici avec [tex]\epsilon[/tex], alors il est faux d'utiliser cette règle. C'est bien ca?
- Fred
- 06-12-2013 19:01:30
Je vais regroupé mes deux dernières questions ici:
1- est-ce qu'il y' a mieux que le reste intégral? ou bien on doit y penser directement?
Pas mieux que le reste intégral
2- pour montrer que la limite de [tex]\displaystyle\int_{\epsilon}^R x^{\alpha+1} g(x) dx[/tex] existe, est-ce qu'on peut dire que [tex]x^{\alpha+1} g(x)[/tex] est continue sur le compact [tex][\epsilon,R][/tex], alors elle est bornée?
Non car ta borne va dépendre de [tex]\epsilon[/tex], donc tu as
[tex]\int_{\epsilon}^R |x^{\alpha+1} g(x)| dx\leq M(\epsilon)[/tex] et ensuite tu fais tendre [tex]\epsilon[/tex] vers 0.
On ne peut a priori rien dire du comportement de [tex]M(\epsilon)[/tex].
3- On ne connait pas la régularité de [tex]\varphi(\xi_x)[/tex] mais en général, c'est toujours correcte de la majorer ainsi: [tex]|\varphi'(\xi_x)| \leq \sup_{x\in K} |\varphi'(x)[/tex]?
Merci beaucoup pour l'aide.
Oui, c'est correct.