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freddy · 10-07-2011 21:34:25

(...)

Loi du min(X,Y). La probabilité de l'événement "Min(X,Y)=k" est celle des événement disjoint suivant:

"X=k & Y > k" ou bien "X > k & Y = k" ou bien "X = k & Y = k". Les travaux précédents permettent d'aller rapidement au but.

[tex]\Pr(X = k, Y > k) =\Pr(X=k)\times \Pr(Y>k)=(1-p)^k\times p \sum_{i=k+1}^{+\infty} \left((1-p)^i\times p\right)=(1-p)^{2k+1}\times p [/tex]

Comme on peut symétriser X et Y, on a alors :

[tex]\Pr\left(Min(X,Y)=k \right) = 2\times (1-p)^{2k+1}\times p+ \left((1-p)^k\times p\right)^2[/tex]

d) la probabilité d'attraper un fautif en même temps est donnée par :

[tex]\Pr(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\infty} \Pr(X=k, Y=k) =p^2\times \left(1+(1-p)+(1-p)^2+ \cdots \right)= \frac{p}{2-p}[/tex]

e) enfin, la probabilité que ce soit Yves qui paie la tournée en premier est égale à la probabilité que ce soit Jacques qui contrôle le premier un véhicule défaillant. Ce qui revient à chercher la probabilité que la VA Y soit inférieure à X. On a :

[tex]\Pr( X > Y) = \sum_{k=0}^{+\infty}\Pr(X > k, Y = k) = (1-p) p \times\sum_{k=0}^{+\infty}\left((1-p)^2\right)^k=\frac{1-p}{2-p} [/tex].

On vérifie que c'est exact en calculant la probabilité que ce soit Yves, ou Jacques, qui paie en premier le vin chaud. En symétrisant X et Y, on voit que cette probabilité est égale [tex]1-\Pr(X=Y) = 2\times \frac{1-p}{2-p}[/tex].

Joli sujet !

freddy · 10-07-2011 04:17:40

Salut !

Finissons ! La probabilité recherchée en a) est de l'ordre de 50,08 %

Pour le c), On sait que [tex]\Pr(X=k)=(1-p)^k\times p[/tex] et idem pour Y.

Soit Z le nombre de véhicules contrôlées avant le premier fautif. Z suit la même loi que X et Y.

La probabilité de deux fautifs consécutifs après 2k contrôles infructueux est égale à

[tex]\Pr(X=k\;\text{et}\;Y=k)=(1-p)^{2k}\times p^2[/tex]

[tex](1-p)^{2k}\times p^2=\left((1-p)^{k}\times p\right)^2=\Pr(X=k)\times Pr(Y=k)[/tex]

Donc [tex]\Pr(X=k\;\text{et}\;Y=k)=\Pr(X=k)\times Pr(Y=k)[/tex] ce qui montre l'indépendance en probabilité.

Les deux événements ne sont pas incompatibles, sinon la proba de leur intersection eût été nulle.

(...)

freddy · 19-06-2011 18:42:02

OK d'ac,

fais comme ta formule te dit de faire.

coralie · 19-06-2011 14:45:13

bah j'ai une formule comme sa pour l'approximation c'est pour sa je ne sai jamais si il faut faire comme vous ou si il faut faire comme sa .si je sais pas il faut mieux que je fasse comme vous ?

freddy · 19-06-2011 12:30:43

Re,

pourquoi tu ajoutes 0,5 à b ?

coralie · 19-06-2011 10:53:14

je pense avoir compris enfait mon calcul est une approximation . c'est bien ca?
du coup une fois qu'on a la lois normal on fait toujours a l'aide de la formule [tex]p\left[a\leq X\leq b\right]=F\left(b-m/\partial \right)-F\left(a-m/\partial \right)[/tex]

merci
si c'est bon on peu passer a la question b )?

coralie · 19-06-2011 09:39:04

re,
avez vous deja la bonne loi N(30,5.04)
5.04 car j'ai fait [tex]\sqrt{30\left(1-0.15\right)}[/tex] donc j'ai trouvé la loi normal N(30,5.04)
ici on n'est d'accord je crois
donc aprés
je fais sa [tex]p\left[25\leq X\leq 32\right]=F\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\right)-F\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np\left(1-p)\right)}}= [tex]F\left(\frac{32+0.5-30}{5.04}\right)-F\left(\frac{25-0.5-30}{5.04}\right)=F\left(0.496\right)-F\left(-1.09 \right)[/tex]

voila mon explication pouvez me donner l'explication que ce n'est pas ceci
et me donné la forme generale pour calculer une proba p entre deux valeur car je ne comprend psa votre calcule

freddy · 19-06-2011 08:14:48

Re,

et bien, j'ai centré et réduit les valeurs 32 et 25 pour pouvoir utiliser la tabulation de la loi LN(0,1).

pour éviter certaines erreurs de calculs, on retient toutes les valeurs de calcul, notamment l'écart type.

coralie · 18-06-2011 22:51:47

je n'est pas du tout compris

freddy · 18-06-2011 21:25:37

Re,

presque !

C'est [tex]F(0,3961)-F(-0,9901)[/tex] puisque on a [tex]\frac{32-30}{\sqrt{0,15\times 0,85\times 200}}=0,3961[/tex] et [tex]\frac{25-30}{\sqrt{0,15\times 0,85\times 200}}=-0,9901[/tex]

coralie · 18-06-2011 16:00:53

Re,
je reviens a mon exercice

a) j'ai compris pour la loi binominal mais je ne sais ps comment faire pour faire une approximation
car je suis d'accord pour la loi normal N (m, [tex]\partial[/tex] )
j'ai m= 30 et [tex]\partial =5.04[/tex]
et pour le calcul j'ai [tex]\mathcal{P} \left(0.49\right)-\mathcal{P} \left(-1.09 \right)[/tex]
c'est bien sa?

joel · 18-06-2011 15:15:05

on me demander aussi de calculer

[tex]p\left[x<3\right]=0.5+0.99865=1.49865 et\,aussi\,p\left[x>-1\right]=0.5-0.84134=-0 .34134 est\,bon??,[/tex]

joel · 18-06-2011 14:57:17

bonjour ,
en voyant ceci j'aimerais savoir comment tracer l'allure d'une densité x
ex : x une v.a de lois normale(2.3)
j'ai trouvé l'esperence qui est 2 et la variance 9 mais je ne sais pas tracer
merci

freddy · 18-06-2011 07:08:40

Une v.a X suit une loi normale N(m,a)
si sa densité f est donnée par [tex]f\left(x\right)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{\left(x-m\right)}^{2}}{2{a}^{2 }}\right)[/tex]

coralie, · 17-06-2011 17:13:05

De plus, une v.a X suit une lois norma N(m,a)
si sa densité f est donnée par [tex]f\left(x\right)=\frac{1}{a\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\,\frac{-{\left(x-m\right)}^{2}}{2{a}^{2 }}\right)[/tex]
on est bien d'accord?

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