Forum de mathématiques - Bibm@th.net

La méthode d'Yvan fonctionne, bien sûr ! Mais elle ne répondra pas à ton problème. Si tu utilises des "pavages", ce que tu vas faire c'est calculer la valeur de Vn. On n'appelle pas ça des pavages en général, mais plutôt une somme de Riemann.

Alors bien sûr, tu peux calculer Vn, puis [tex]Vol(K\cdot B)[/tex], et en déduire que l'un est [tex]K^n[/tex] fois plus petit que l'autre, mais ça ne me semble pas optimal comme méthode ^^

Bonsoir,

  On peut aussi appliquer la formule du changement de variables, http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … gtvar.html, effectivement à la fonction indicatrice de la boule.
Cela donne
[tex]Vol(B)=\int_{\mathbb R^n} 1_{KB}(x)d\lambda(x)=\int_{\mathbb R^n}1_{KB}(KX)K^n d\lambda(x),[/tex]

où l'application est [tex]\phi(x)=KX[/tex] dont le jacobien est précisément [tex]K^n[/tex]
Et on a exactement :

[tex]1_{KB}(Kx)=1_B(x)[/tex]

Fred.

Bonjour,

Je verrais une idée plus élémentaire pour arriver a ce résultat: la mesure de Lebesgue d'un rectangle R=[a1,b1]x...x[an,bn] est L(R)=(b1-a1)x...x(bn-an). Si on applique l'homothétie h de rapport K a un tel rectangle, son aire est multipliée par K^n: L(h(R))=K^n.L(R).
Maintenant, si on suppose que la boule est mesurable, on peu approcher sa mesure de Lebesgue par des mesures de pavages par des rectangles, de plus en plus fins.
En faisant intervenir ici la linéarité (et la continuité) de l'homothétie on devrait pouvoir conclure...
Pas sur que ça marche, il faudrait écrire un peu proprement...

J'espère que ça vous aide

Cordialement