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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MOHAMED_AIT_LH
- 28-12-2010 20:59:33
Bonsoir,
Bonsoir Freddy !
Même si le groupe [tex]A[/tex] est infini le premier thm de l'isomorphisme dit [tex]{\mathbb Z}/\ker f[/tex] isomorphe à [tex]\text{Im } f[/tex] et non pas [tex]A[/tex]
Ici [tex]\text{Im} f[/tex] est exactement le sous groupe de [tex]A[/tex] engendré par [tex]a[/tex]
Pour la différence deux à deux des [tex]a^k[/tex] , tu as bien fait de l'évoquer et c'est un résultat à connaitre :
Si [tex]G[/tex] est un groupe cyclique d'ordre [tex]p \in {\mathbb N}^*[/tex] engendré par un élément [tex]g[/tex] alors il continet [tex]p[/tex] éléments qui sont exactemet [tex]g^k[/tex] avec [tex]k=0,1,...,p-1[/tex]
La preuve se fait comme suit :
Si [tex]g^i=g^j[/tex] avec [tex]0 \leq i \leq j \leq p-1[/tex] alors [tex]g^{j-i}=e[/tex] et comme [tex]0 \leq j-i < p[/tex] et que [tex]p[/tex] est l'ordre de [tex]g[/tex], on a forcément [tex]j-i=0[/tex] donc [tex]j=i[/tex]
Ceci prouve que les [tex]g^k[/tex] pour [tex]0 \leq k \leq p-1[/tex] sont distincts deux à deux. Réciproquement, un élément [tex]x[/tex] du groupe cyclique engendré par [tex]g[/tex] s'écrit : [tex]x=g^i[/tex] avec [tex]i \in {\mathbb Z}[/tex]. La division euclidienne de [tex]i[/tex] par [tex]p[/tex] donne : [tex]x=p^r[/tex] où [tex]r[/tex] est le reste dans cette division euclidienne.
Merci pour ton intervention!
- freddy
- 28-12-2010 16:48:31
Bonsoir;
Les indications données par thardien sont bien expliquées et largement suffisantes.
Sous un autre angle, on peut considérer l'application :[tex]\begin{array}{ccrcl} f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k \end{array}[/tex]
C'est un morphisme du groupe [tex]({\mathbb Z},+)[/tex] vers le groupe [tex](A,.)[/tex] donc son noyau [tex]\ker f[/tex] est un sous-groupe de [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex] Donc il existe un nombre entier natuel [tex]p[/tex] tel que [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme [tex]a^5=e[/tex] alors [tex]5 \in ker f[/tex] donc [tex]p|5[/tex] donc [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si [tex]p=1[/tex] alors [tex]a=e[/tex] , donc [tex]p=5[/tex] donc [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on utilise le premier théorème de l'isomorphisme (si c'est vu) selon lequel [tex]\text{Im } f \simeq {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or [tex]\text{Im} f[/tex] n'est autre que le groupe cyclique engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il est d'ordre cinq, il contient exactement [tex]5[/tex] éléments à savoir [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En particulier ces élèments sont deux à deux distincts.
Salut Mohamed,
J'aime bien cette approche, mais je ne suis pas sûr que notre ami ait indiqué que son groupe A ne contenait que 5 élements.
Si j'ai bien compris, il voulait simplement savoir comment démontrer que les 5 élements cités étaient deux à deux distincts, compte tenu des hypothèses. D'où ma suggestion.
Au plaisir de te lire bientôt,
Freddy, l'empêcheur de tourner en rond.
- freddy
- 27-12-2010 12:56:11
Bonjour, j'ai une question au sujet de l'exercice suivant,
e est l'élément neutre d'un groupe A dont la loi est notée multiplicativement.
je dois montrer que les éléments [tex]e,\,a,\,a^2,\,a^3\,\text{et} a^4[/tex] sont deux à deux distincts sachant que a est différent de e et que [tex]a^5=e[/tex]
Salut,
je vais faire mon "nerosson" : Houlà, face à de si brillants cerveaux, j'éprouve le même sentiment que Titi face à Grosso Minetto .... hihihi.
Question : pourquoi les Chinois ont ils gagné la guerre contre les Mongols ? Car ils avaient la ruse ... C'est quoi la ruse ? Va voir plus bas !
J'explique en redescendant sur terre.
Manifestement, on a [tex]a.a^4=a^2.a^3=e[/tex]. On a donc les symétriques (uniques) des 4 termes consécutifs de A :
[tex]a,\,a^2=a.a,\,a^3=a^2.a,\,a^4=a^3.a[/tex].
Supposons que [tex]a^2=a[/tex]. Donc
[tex]a^2.a^3=e=a.a^3 \Rightarrow a^{-1}=a^3\;\text{et}\,a^{-1}=a^4 \Rightarrow a^3=a^4\, \text{par unicité du symétrique}\,\Rightarrow a^4.a^{-1}=e=a^3[/tex]
[tex]\Rightarrow a^4=e \; \text{et}\;a^5=a^4.a=e\, \Rightarrow a=e[/tex]
ce qui est impossible par définition.
Cher ami, choisis la démarche qui te va le mieux !
C'est quoi la ruse ? Les Mongols avaient réussi à capturer un petit Chinois. Ils lui dirent : "si tu nous expliques ce qu'est la ruse, tu auras la vie sauve".
Le chinois posa sa tête sur un billot et dit au mongol : "Tranche ma tête" ! Au moment où la hache allait s'abattre sur le cou du Chinois, ce dernier l'enleva et dit au Mongol, tout surpris qu'il ne se laisse point faire : "Voilà la ruse ... . Tu as compris ?"
Le Mongol, tout heureux, courut voir son chef et lui dit : "Chef, chef, je sais pourquoi les Chinois nous battent toujours, c'est parce qu'ils ont la ruse". Et le chef de dire :"Mais c'est quoi la ruse ?"
Alors le Mongol de répondre : "Chef, je vais te montrer : pose ta tête sur le billot ! ..."
- MOHAMED_AIT_LH
- 26-12-2010 23:08:26
Bonsoir;
Les indications données par thardien sont bien expliquées et largement suffisantes.
Sous un autre angle, on peut considérer l'application :
[tex]\begin{array}{ccrcl} f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k \end{array}[/tex]
C'est un morphisme du groupe [tex]({\mathbb Z},+)[/tex] vers le groupe [tex](A,.)[/tex] donc son noyau [tex]\ker f[/tex] est un sous-groupe de [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex] Donc il existe un nombre entier natuel [tex]p[/tex] tel que [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme [tex]a^5=e[/tex] alors [tex]5 \in ker f[/tex] donc [tex]p|5[/tex] donc [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si [tex]p=1[/tex] alors [tex]a=e[/tex] , donc [tex]p=5[/tex] donc [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on utilise le premier théorème de l'isomorphisme (si c'est vu) selon lequel [tex]\text{Im } f \simeq {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or [tex]\text{Im} f[/tex] n'est autre que le groupe cyclique engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il est d'ordre cinq, il contient exactement [tex]5[/tex] éléments à savoir [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En particulier ces élèments sont deux à deux distincts.
- MOHAMED_AIT_LH
- 26-12-2010 23:07:15
Bonsoir;
Les indications données par thardien sont bien expliquées et largement suffisantes.
Sous un autre angle, on peut considérer l'application :
[tex]\begin{array}{ccrcl} f&:&{\mathbb Z}&\to&A \\&&k&\mapsto&a^k \end{array}[/tex]
C'est un morphisme du groupe [tex]({\mathbb Z},+)[/tex] vers le groupe [tex](A,.)[/tex] donc son noyau [tex]\ker f[/tex] est un sous-groupe de [tex]({\mathbb Z},+ )[/tex] Donc il existe un nombre entier natuel [tex]p[/tex] tel que [tex]\ker f = p {\mathbb Z}[/tex]. Comme [tex]a^5=e[/tex] alors [tex]5 \in ker f[/tex] donc [tex]p|5[/tex] donc [tex]p=1[/tex] ou [tex]p=5[/tex]
Si [tex]p=1[/tex] alors [tex]a=e[/tex] , donc [tex]p=5[/tex] donc [tex]\ker f = 5 {\mathbb Z}[/tex]
Ensuite , on utilise le premier théorème de l'isomorphisme (si c'est vu) selon lequel [tex]\text{Im } f \simeq {\mathbb Z} / \ker f ={\mathbb Z} / 5 {\mathbb Z}[/tex] Or [tex]\text{Im} f[/tex] n'est autre que le groupe cyclique engendré par [tex]a[/tex]. Puisqu'il est d'ordre cinq, il contient exactement [tex]5[/tex] éléments à savoir [tex]e,a,a^2,a^3,a^4[/tex].En particulier ces élèments sont deux à deux distincts.
- thadrien
- 26-12-2010 18:10:05
Salut,
* "Mais est-ce que a <> e implique a <> a^-1 ?" => Réponse : non.
Contre exemple 1 et -1 dans le groupe R privé de 0, muni de la multiplication.
* Indication pour ton problème : 5 est premier.
1) Soit i le plus petit entier naturel NON NUL tel que a^i = e. Soient q et r respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 5 par i. Alors, e = a^5 = a^(q i+r) = a^(q i) a^r = (a^q)^i a^r = e^i a^r = e a^r = a^r. Donc a^r = e. Comme i est le plus petit entier naturel non nul tel que a^r = e, alors, r = 0. Donc i divise 5.
2) Comme 5 est premier, i = 1 ou 5. Je te laisse montrer qu'il n'est pas égal à 1 et qu'il est égal à 5. Conséquence : a,a^2,a^3 et a^4 sont différents de l'élément neutre.
3) Supposons que a^i soit égal à a^j, avec 0<=i<j<=5. Alors, a^(j-i) = e, et 0 < j-i <= 5. Alors, tu as contradiction avec le résultat montré en 2. Donc, tous les éléments sont différents 2 à 2.
A+
- undefined
- 26-12-2010 13:37:58
Bonjour, j'ai une question au sujet de l'exercice suivant,
e est l'élément neutre d'un groupe A dont la loi est notée multiplicativement.
je dois montrer que les éléments e,a,a^2,a^3 et a^4 sont deux à deux distincts sachant que a est différent de e et que a^5=e.
en partant de a <> e, j'obtiens successivement en composant par a : a^2 <> a , a^3 <> a^2, a^4 <> a^3 et a^4 <> e.
ensuite j'écrit a^5=a^4*a=e donc a^4=a^-1 et à ce moment là j'ai envie de dire que puisque a <> e alors a^-1 <> a d'où a^4 <> a et la suite de l'exercice se fait facilement si on applique ce raisonnement.
Mais est-ce que a <> e implique a <> a^-1. En d'autre termes, est-ce que l'élement neutre d'un groupe et le seul élement égal à son inverse ?
(dsl je n'ai pas réussi à insérer le symbole "différent de", c'est pourquoi j'ai utilisé <> à la place)
Voilà, merci d'avance.