Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je vais un tout peu plus loin dans mon intuition (peut-être fausse) :

Le fait que $a + b + c = 1$ entraîne

$(a + b + c)^2  = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1$

D'où $ab + bc + ca = \dfrac {1 - a^2 - b^2 - c^2} 2$

Je ne sais pour l'instant pas aller plus loin. Est-ce une voie exploitable ?

Bonsoir yoshi.

Oui, les documents Olympiques sont très complets ! Je serais presque jaloux des élèves d'aujourd'hui qui y ont accès, alors qu'à nos époques, la voix du professeur était le seul son de cloche auquel nous avions le droit… d'un autre côté, quand on voit la formation initiale… d'un coup ma jalousie retombe. x=)

Quoi qu'il en soit, de nombreux documents sont accessibles à tous que ce soit, à titre d'exemples, de la formation olympique française ou encore de la formation olympique suisse (il suffit de sélectionner son sujet préféré et de cliquer sur "fr" pour avoir la version française… suisse multi-lingue oblige) où quasiment tous les documents disposent d'une version française.

Bien entendu, aucun n'est meilleur que l'autre et ils ont chacun leurs forces et leurs faiblesses. Ainsi donc, par exemple, si je préfère le document français cité plus haut sur les inégalités, je préfère néanmoins le document suisse sur les équations fonctionnelles à la version française. Mais ce n'est qu'une question de goûts et de couleurs. ^_^

Bonjour.

Je n'ai pas le temps de tenter quelque chose là tout de suite ; ce qui est malheureux, car cette inégalité semble très amusante !
Néanmoins je poste afin de souligner que pour une telle inégalité sentant bon les inégalités types des Olympiades (donc tout à fait à propos, malgré ce qu'en dit notre bon ami Borassus, pour un forum collège-lycée ^_^), il me semble que le meilleur document à garder sous la main de sorte à disposer de toutes les stratégies de résolutions, se trouve être le Cours Olympique sur les inégalités classiques de Pierre Bornsztein.

Bonjour et merci pour votre réponse
La 1ere inégalité implique la 2eme .
Donc : si on peut avoir des indications  pour l’une des deux c’est bien.

Bonjour,

Il est possible que oui !

Mais il faut alors spécifier à quelle(s) condition(s) cette suppression peut être effectuée.

Il y a par ailleurs une symétrie entre les trois nombres qui me fait penser que la solution doit être simple si on sait tirer le bon bout du nœud.

Plusieurs observations m'interpellent, mais je ne sais si elles peuvent représenter une piste :

1) L'alternance ab, bc, ac me fait penser au développement de $(a + b + c)^2$.

2) Les coefficients 3, 4, 5 me font penser au célèbre triplet pythagoricien $5^2 = 3^2 + 4^2$

3) 16 est le carré de 4 et est égal à $2^4$.

4) 32 est égal à $2 ^5$

Mais je ne sais aller au-delà de la vague intuition générée par ces observations.

Bon courage dans tes recherches !

Bonjour,

Bien que me sentant pour l'instant totalement incapable de démontrer cette inégalité effectivement pour le moins farfelue — je me vois mal la franciser pour lui donner un sens général ! —, je pense qu'il faut lire $\dfrac{1}{32}\left( ab(a-b)^2 + \ldots \right)$