Variation de la constante
La méthode de variation de la constante est une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).
Si $y_0$ est une solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme $y(t)=\lambda (t)y_0(t)$.
Exemple : Soit à résoudre : $$ty'(t)-y(t)=t^2 e^t,\ t\in]0,+\infty[.$$
- On résout l'équation homogène $ty'-y=0$ dont la solution générale est donnée par $y(t)=\lambda t,\ \lambda\in\mathbb R.$
- On cherche une solution particulière sous la forme $y(t)=\lambda(t)t,$ $y$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si $$\lambda(t) t+t^2\lambda'(t)-\lambda(t)t=t^2e^t\iff \lambda'(t)=e^t.$$ Une solution particulière est donnée par $\lambda(t)=e^t$ et les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $y(t)=\lambda t +e^t t, \lambda\in\mathbb R.$
On considère une équation $$a(t)y''(t)+b(t)y'(t)+c(t)y(t)=d(t).$$ Si $(y_1,y_2)$ est une base de solutions de l'équation sans second membre, on cherche une solution $y$ sous la forme $$\left\{ \begin{array}{rcl} y(t)&=&\lambda_1(t)y_1(t)+\lambda_2(t)y_2(t)\\ y'(t)&=&\lambda_1(t)y_1'(t)+\lambda_2(t)y_2'(t). \end{array}\right. $$ En particulier, l'expression de $y'$ entraîne que $$\lambda_1'(t)y_1(t)+\lambda_2'(t)y_2(t)=0.$$ L'introduction des valeurs de $y$ et $y'$ dans l'équation différentielle donne une deuxième équation en $\lambda_1',\lambda_2'$, ce qui donne avec la précédente un système différentiel linéaire d'ordre $1$ en $\lambda_1',\lambda_2'$ que l'on résout.
Exemple : Soit à résoudre $$y''+3y'+2y=\frac{t-1}{t^2}e^{-t}\textrm{ sur }]0,+\infty[.$$ Une base de l'équation sans second membre est donnée par $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1(t)&=&e^{-t}\\ y_2(t)&=&e^{-2t}. \end{array}\right. $$ On cherche donc une solution $y$ vérifiant $$\left\{ \begin{array}{rcl} y(t)&=&\lambda_1(t)e^{-t}+\lambda_2(t)e^{-2t}\\ y'(t)&=&-\lambda_1(t)e^{-t}-2\lambda_2(t)e^{-2t}. \end{array}\right. $$ Remarquons que l'on a $$y''(t)=-\lambda_1'(t)e^{-t}+\lambda_1(t)e^{-t}-2\lambda_2'(t)e^{-2t}+4\lambda_2(t)e^{-2t}.$$ En introduisant dans l'équation, on trouve $$ \left\{ \begin{array}{rcl} -\lambda_1'(t)e^{-t}-2\lambda_2'(t)e^{-2t}&=&\frac{t-1}{t^2}e^{-t}\\ \lambda_1'(t)e^{-t}+\lambda_2'(t)e^{-2t}&=&0. \end{array} \right. $$ Ce système est équivalent à $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda_2'(t)&=&\frac{1-t}{t^2}e^t\\ \lambda_1'(t)&=&-e^{-t}\lambda_2'(t)=\frac{t-1}{t^2}. \end{array} \right. $$ soit $$ \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda_2(t)&=&-\frac{e^t}{t}+\alpha_2,\ \alpha_2\in\mathbb R,\\ \lambda_1(t)&=&\ln|t|+\frac 1t+\alpha_1,\ \alpha_1\in\mathbb R. \end{array} \right.$$ En particulier, $y(t)=\ln(t)e^{-t}$ est une solution particulière, et les solutions sont de la forme $$t\mapsto \ln(t)e^{-t}+\lambda_1e^{-t}+\lambda_2e^{-2t}.$$