Sous-différentiel

Soit $f:D\subset \mathbb R^n\to\mathbb R$ une fonction convexe. On dit que $\eta\in\mathbb R^n$ est un sous-gradient de $f$ en $x_0$ si $$\forall x\in D,\ f(x)\geq f(x_0)+\langle \eta,x-x_0\rangle.$$ L'ensemble des sous-gradients de $f$ de $f$ en $x_0$ s'appelle le sous-différentiel de $f$ en $x_0$ et sera noté $\partial f(x_0).$

Si $f$ est convexe et semi-continue inférieurement (en particulier si $f$ est convexe et continue) et si $x_0$ est dans l'intérieur de $D,$ alors le sous-différentiel de $f$ en $x_0$ est non vide, convexe et borné.

La notion de sous-différentiel permet de caractériser les points où une fonction convexe atteint son minimum.