Fonctions continues par morceaux, fonctions $C^k$ par morceaux
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction. On dit que $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$, alors $g_i$ se prolonge en une fonction continue à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.
Autrement dit, $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, $f$ est continue sur l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ et si $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite (éventuellement différentes) en chaque $a_i$, pour $i=1,\dots,n-1$, une limite à gauche en $a=a_0$ et une limite à droite en $b=a_n.$
Exemples :
- la fonction partie entière est continue par morceaux sur $[0,5].$ Une subdivision adaptée est $a_0=1,a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5.$
- la fonction $f$ définie sur $[-1,1]$ par $f(x)=1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas continue par morceaux sur $[-1,1]$. En effet, $f$ n'admet ni limite à gauche ni limite à droite en $0$.
- la fonction $g$ définie sur $[0,1]$ par $g(x)=\lfloor 1/x\rfloor$ si $x\neq 0$ et $g(0)=0$ n'est pas continue par morceaux sur $[0,1]$. En effet, $g$ est discontinue en tous les $1/n,$ $n\in\mathbb N^*,$ et une fonction continue par morceaux sur un segment n'admet qu'un nombre fini de points de discontinuité.
Plus généralement, $f:[a,b]\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$, alors $g_i$ se prolonge en une fonction $\mathcal C^k$ à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.
Si maintenant $f$ est définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ qui n'est plus nécessairement un segment, alors on dit que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux sur $I$ si elle est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux sur tout segment inclus dans $I$.
Les fonctions $\mathcal C^k$ par morceaux interviennent par exemple dans les théorèmes de convergence des séries de Fourier, ou dans certaines constructions de l'intégrale.