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Dictionnaire de mathématiques > Mathématiques discrètes > Dénombrement >

Principe de la somme

On rappelle que deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si leur intersection est vide, et que les parties $A_1,\dots,A_p$ de $E$ constituent une partition de $E$ si elles sont deux à deux disjointes et si leur réunion est $E.$

Le principe de la somme exprime le cardinal d'un ensemble en fonction du cardinal de chaque élément d'une partition :

Théorème : Si $A_1,\dots,A_p$ constitue une partition d'un ensemble fini $E,$ alors : $$\textrm{card}(E)=\textrm{card}(A_1)+\cdots+\textrm{card}(A_p).$$

Ce principe est très souvent utilisé pour réaliser des dénombrements. Plus généralement, si $A$ et $B$ sont deux ensembles non nécessairement disjoints, alors $$\textrm{card}(A\cup B)=\textrm{card}(A)+\textrm{card}(B)-\textrm{card}(A\cap B).$$ Ceci se généralise encore au cas de $n$ ensembles par la formule du crible de Poincaré.

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