Paradoxe de l'autobus

La compagnie de transports en commun annonce qu'à mon arrêt, un bus passe en moyenne toutes les 10 minutes. Je me rends à mon arrêt à un instant complètement aléatoire entre 7h et 8h. Combien de temps en moyenne vais-je devoir attendre? Intuitivement, il semble clair que je vais devoir attendre en moyenne $10/2=5$ minutes, puisque les jours où j'arrive juste après le passage d'un bus devraient équilibrer les jours où j'arrive juste avant la passage d'un bus.

Ce serait le cas si le bus arrivait exactement toutes les 10 minutes, mais en réalité ce n'est pas le cas. Imaginons qu'il passe une fois sur deux un bus toutes les 14 minutes et une fois sur deux un bus toutes les 6 minutes (donc, en moyenne, il passe bien un bus toutes les 10 minutes). Si j'arrive à l'arrêt entre deux bus espacés de 14 minutes, alors mon temps d'attente moyen est de 7 minutes. Si j'arrive à l'arrêt entre deux bus espacés de 6 minutes, je vais attendre en moyenne 3 minutes. Mais il y a beaucoup plus de chances que j'arrive entre deux bus espacés de 14 minutes qu'entre deux bus espacés de 6 minutes!

Sur l'exemple ci-dessus, il y a $3\times 6=18$ chances sur $60$ que j'arrive entre deux bus rapprochés de 6 minutes, et $3\times 14=42$ chances sur $60$ que j'arrive entre deux bus espacés de 14 minutes. Mon temps d'attente moyen sera donc $$\frac{18}{60}\times 3+\frac{42}{60}\times 7\simeq 5,\!8\textrm{ minutes}.$$

On peut même prouver que dans le cas où les temps d'arrivée du bus à l'arrêt suivent un processus de Poisson de paramètre $\lambda$ (c'est-à-dire que l'intervalle de temps entre deux bus suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et que ces intervalles de temps sont indépendants les uns des autres), alors le temps d'attente moyen est $\lambda,$ c'est-à-dire le temps moyen entre deux bus (et donc le temps d'attente est deux fois le temps d'attente escompté par le raisonnement naïf).