Série de Gregory

On appelle série de Gregory le développement en série entière au voisinage de l'origine de la fonction arctangente, c'est-à-dire l'égalité $$\arctan x=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1},$$ valable pour tout $x\in[-1,1]$. En particulier, pour $x=1,$ on trouve l'égalité $$\frac\pi4=\sum_{k=0}^{+infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$