Groupe diédral
Soit $n\geq 3$. On appelle groupe diédral d'ordre $n$, et on note $D_n$, le groupe des isométries du plan euclidien qui conservent un polygone régulier convexe à $n$ côtés. Il contient $2n$ éléments :
- $n$ rotations de centre le milieu du polygone, et d'angle $2 k\pi /n$, $0\leq k\leq n-1$;
- $n$ réflexions. La nature des axes de réflexion est très différente suivante que $n$ est pair ou impair :
- si $n=2k$ est pair, il y a deux familles de réflexions : celles dont l'axe joint un sommet au sommet opposé, et celles dont l'axe joint le milieu d'un côté au milieu du côté opposé.
- si $n=2k+1$ est impair, il n'y a qu'une famille de réflexions. Leurs axes joignent un sommet au milieu du côté opposé.
Les propriétés du groupe diédral dépendent pour partie de la parité de $n.$
Théorème :
Soit $n\geq 3$ et notons $r$ la rotation de centre le milieu du polygone régulier à $n$ côtés et d'angle $2\pi/n$.
- si $n$ est pair, le centre de $D_n$ est $\{\textrm{id},r^{n/2}\}$, et le sous-groupe dérivé de $D_n$ est le sous-groupe engendré par $r^2;$
- si $n$ est impair, le centre de $D_n$ est $\{\textrm{id}\}$ et le sous-groupe dérivé de $D_n$ est le sous-groupe engendré par $r.$
Il est facile de trouver des générateurs de $D_n$, et ils caractérisent en quelque sorte $D_n$ :
Théorème :
Soit $s$ une symétrie de $D_n$ et $r$ une rotation de $D_n$. Alors $D_n$ est engendré par $r$ et $s$. Plus précisément, on a
$$D_n=\{\textrm{id}, r, r^2, ..., r^{n-1}, s, sr, sr^2, ..., sr^{n-1}\}$$
et $D_n$ est isomorphe au produit semi-direct $\mathbb Z/n\mathbb Z\rtimes\mathbb Z/2\mathbb Z.$ Réciproquement, tout groupe
engendré par un élément $s$ d'ordre $2$ et un élément $r$ d'ordre $n$ tels que $srs=r^{-1}$ est isomorphe à $D_n$.
Par ailleurs, le groupe des automorphismes de $D_n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z\rtimes (\mathbb Z/n\mathbb Z)^*.$
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