Matrice compagnon
Soit $P(X)=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$ un polynôme de $\mathbb K[X]$ de degré $p$. On appelle matrice compagnon (ou matrice partenaire) de $P$ la matrice carré d'ordre $p$ $$C(P)=\left( \begin{array}{ccccc} 0&\dots&\dots&0&-a_0\\ 1&0&\ddots&\vdots&-a_1\\ 0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&-a_{p-2}\\ 0&\dots&0&1&-a_{p-1} \end{array}\right).$$ Ces deux objets sont associés car le polynôme caractéristique de $C(P)$ est exactement $P$.
Les matrices compagnons interviennent dans plusieurs aspects de la réduction des endomorphismes :
- une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton y fait appel.
- dans l'étude des endomorphismes cycliques : $u$ est un endomorphisme cyclique si et seulement s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est égale à $C(P_u)$ où $P_u$ est le polynôme caractéristique de $u$. À ce titre, les matrices compagnons interviennent dans la réduction de Frobenius.
Le théorème suivant caractérise la diagonalisabilité d'une matrice compagnon.
Théorème :
La matrice compagnon $C(P)$ du polynôme $P$ est diagonalisable si et seulement si $P$
est scindé à racines simples. Dans ce cas, $VC(P)V^{-1}=\textrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_p),$
où $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont les racines de $P$ et $V$ est la matrice de Vandermonde
associée à $\lambda_1,\dots,\lambda_p.$
On peut aussi facilement déterminer les matrices semblables à une matrice compagnon.
Théorème :
Soit $A\in\mathcal M_p(\mathbb K).$ Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
- $A$ est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans $\mathbb K.$
- Le polynôme minimal de $A$ est égal à son polynôme caractéristique.
- Il existe un vecteur $v$ dans $\mathbb K^p$ tel que $(v, Av, A^2v, …, A^{p-1}v)$ soit une base de $\mathbb K^p.$
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