Cissoïde de Diocles

La cissoïde de Diocles est une courbe cissoïdale qu'on peut construire de la façon suivante. On considère une droite $D$ et un cercle $\mathcal C$ tangent à $D$ au point $A$. Soit $O$ le point diamètralement opposé à $A$. Pour tout point $M$ de la droite $D$, on considère la droite $(OM)$ qui coupe le cercle en $B$. Soit $P$ le point tel que $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BM}$. Alors le lieu géométrique du point $P$, lorsque $M$ décrit la droite $D$, s'appelle la cissoïde de Diocles associée à $D$ et $\mathcal C$.

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ et où le point $A$ a pour coordonnées $(2a,0)$, la cissoïde a pour équation cartésienne $y^2=\frac{x^3}{2a-x}$, pour équation polaire $r=2a\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$, avec $\theta\in]-\pi/2,\pi/2[$, et pour équation paramétrée $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&2a\frac{t^2}{1+t^2}\\ y(t)&=&2a\frac{t^3}{1+t^2}. \end{array}\right.$$

Diocles avait utilisé cette courbe pour résoudre le problème de duplication du cube, c'est-à-dire, étant donné un cube de volume $a^3$, construire un cube de volume $2a^3$. En effet, si on considère la cissoïde précédente, si $C$ est le centre du cercle et $\Delta$ est la droite d'équation $x=a$, soit $K$ le point de $\Delta$ tel que $CK=2a$. La droite $(AK)$ coupe la cissoïde en $J$. Les droites $\Delta$ et $(OJ)$ se coupent en $U$. Alors $CU^3=2a^3$. Toutefois, cette construction ne répond pas au problème original, car la cissoïde ne peut pas être construite parfaitement à la règle et au compas.