La conjecture de Poincaré démontrée? - 22/04 Prenez une pomme, et imaginez un ruban autour de cette pomme. En faisant glisser le ruban tout doucement, il est possible de le comprimer en un point de la pomme, sans couper le ruban ni le faire quitter la surface de la pomme. Prenez maintenant un anneau, et imaginez un ruban enfilé autour de l'anneau. Cette fois, il est impossible, sans couper le ruban ou l'anneau, de réduire juste par glissement et compression le ruban en un point. En langage mathématique, on dit que la pomme est une surface simplement connexe, alors que l'anneau ne l'est pas.
Poincaré savait il y a un peu moins d'un siècle que cette propriété caractérisait topologiquement la sphère parmi les surfaces de l'espace. Autrement dit, si une surface (fermée) de l'espace est simplement connexe, elle peut être déformée continument en la sphère (la déformation continue peut être assimilée à ce que l'on est capable de réaliser avec de la pâte à modeler, sans couper une boule de pâte en deux). Poincaré posa alors en 1904 la question suivante : est-ce que cette propriété caractérise encore la sphère 3-dimensionnelle dans l'espace à 4 dimensions, ou plus généralement la sphère n-dimensionnelle dans l'espace à (n+1) dimensions. En langage plus mathématique :
Bien sûr, il faut être un petit peu mathématicien pour comprendre ce que peut être la sphère dans l'espace à 4, 5 ou plus, dimensions. Et bizarrement, ce problème a été plus simple à résoudre pour les valeurs de n supérieure à 4. Il fut en effet résolu par Zeeman, Stallings et Smale pour n>4 vers 1961-1962, puis par Freedman en 1982 pour n=4. Ce fut plus simple à résoudre certes que le cas n=3, mais cela valut tout de même à Freedman la médaille Fields!
La conjecture initiale de Poincaré (le cas n=3) restait donc irrésolu, et le Clay Mathematics Institute la choisit en l'an 2000 parmi les 7 problèmes du millénaire dont la résolution est primée 1 million de dollars. Il semblerait que le mathématicien russe Grigori Perelman, du prestigieux Steklov Institute of Mathematics de Saint-Petersbourg, ait produit récemment une preuve de la conjecture de Poincaré.
Plus précisément, Perelman aurait résolu une conjecture encore plus générale que la conjecture de Poincaré, à savoir la conjecture de Thurston, dans deux articles qui circulent actuellement comme preprint. Ces articles s'annoncent toutefois, selon des experts du sujet, très techniques à lire, et il faudra sans doute de nombreux mois avant que la preuve soit avérée (ou non). Selon les règles du Clay Mathematics Institute, la preuve de Perelman doit pouvoir passer 2 ans sans être contestée avant que le prix puisse lui être remis. Signalons que l'année dernière, un autre géomètre, J. Dunwoody, avait lui aussi annoncé posséder une preuve de la conjecture de Poincaré, mais cette preuve était incomplète et à ce jour reste non complétée.
Pour en savoir plus (si vous voulez savoir à quoi ressemble un papier de recherche de très haut niveau) :
Poincaré savait il y a un peu moins d'un siècle que cette propriété caractérisait topologiquement la sphère parmi les surfaces de l'espace. Autrement dit, si une surface (fermée) de l'espace est simplement connexe, elle peut être déformée continument en la sphère (la déformation continue peut être assimilée à ce que l'on est capable de réaliser avec de la pâte à modeler, sans couper une boule de pâte en deux). Poincaré posa alors en 1904 la question suivante : est-ce que cette propriété caractérise encore la sphère 3-dimensionnelle dans l'espace à 4 dimensions, ou plus généralement la sphère n-dimensionnelle dans l'espace à (n+1) dimensions. En langage plus mathématique :
Est-ce qu'une variété compacte de l'espace à n+1 dimensions est homéomorphe à la sphère n-dimensionnelle?
Bien sûr, il faut être un petit peu mathématicien pour comprendre ce que peut être la sphère dans l'espace à 4, 5 ou plus, dimensions. Et bizarrement, ce problème a été plus simple à résoudre pour les valeurs de n supérieure à 4. Il fut en effet résolu par Zeeman, Stallings et Smale pour n>4 vers 1961-1962, puis par Freedman en 1982 pour n=4. Ce fut plus simple à résoudre certes que le cas n=3, mais cela valut tout de même à Freedman la médaille Fields!
La conjecture initiale de Poincaré (le cas n=3) restait donc irrésolu, et le Clay Mathematics Institute la choisit en l'an 2000 parmi les 7 problèmes du millénaire dont la résolution est primée 1 million de dollars. Il semblerait que le mathématicien russe Grigori Perelman, du prestigieux Steklov Institute of Mathematics de Saint-Petersbourg, ait produit récemment une preuve de la conjecture de Poincaré.
Plus précisément, Perelman aurait résolu une conjecture encore plus générale que la conjecture de Poincaré, à savoir la conjecture de Thurston, dans deux articles qui circulent actuellement comme preprint. Ces articles s'annoncent toutefois, selon des experts du sujet, très techniques à lire, et il faudra sans doute de nombreux mois avant que la preuve soit avérée (ou non). Selon les règles du Clay Mathematics Institute, la preuve de Perelman doit pouvoir passer 2 ans sans être contestée avant que le prix puisse lui être remis. Signalons que l'année dernière, un autre géomètre, J. Dunwoody, avait lui aussi annoncé posséder une preuve de la conjecture de Poincaré, mais cette preuve était incomplète et à ce jour reste non complétée.
Pour en savoir plus (si vous voulez savoir à quoi ressemble un papier de recherche de très haut niveau) :
- Le premier preprint de Perelman : "The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Application."
- Le second preprint de Perelman : "Ricci Flow with Surgery on Three-Manifolds."
