La conjecture de Catalan est démontrée - 22/04 Lorsqu'un chercheur en mathématiques dit sa profession à quelqu'un qu'il ne connait pas, il se voit souvent répondre cette question : "A bon, il y a de la recherche en math? On n'a pas déjà tout trouvé?" Il est souvent difficile de donner des exemples relativement simples et concrets de recherche moderne.
La conjecture de Catalan faisait partie des problèmes simples à énoncer, et irrésolus jusqu'à ce jour. Il est facile de remarquer que 8 et 9 sont des nombres entiers consécutifs qui sont des puissances d'entiers. Sont-ils les seuls? Autrement dit, l'équation xp-yq=1, où x,y,p et q sont des entiers supérieurs à 1, n'admet-elle qu'une seule solution : 32-23=1?
Cette conjecture avait été proposée par le mathématicien belge Eugène Catalan en 1844, dans le célèbre Journal de Crelle. Elle vient d'être démontrée, près d'un siècle et demi plus tard, par le mathématicien roumain Preda Mihailescu, qui travaille à l'université de Paderborn en Allemagne. Ce fait d'armes intervient après de nombreux travaux, le plus célèbre étant un résultat de Tidjemann en 1976 qui avait montré que l'équation de Catalan n'avait qu'un nombre fini de solutions. On aurait pu espérer une solution informatique au problème, en essayant tous les cas, mais ils sont bien trop nombreux.
La résolution de la conjecture de Catalan n'était pas en soi très importante. On peut juste espérer que les méthodes employées par Mihailescu puissent s'appliquer dans d'autres domaines, un peu comme les progrès de l'arithmétique sont désormais utiles en cryptographie.
La conjecture de Catalan faisait partie des problèmes simples à énoncer, et irrésolus jusqu'à ce jour. Il est facile de remarquer que 8 et 9 sont des nombres entiers consécutifs qui sont des puissances d'entiers. Sont-ils les seuls? Autrement dit, l'équation xp-yq=1, où x,y,p et q sont des entiers supérieurs à 1, n'admet-elle qu'une seule solution : 32-23=1?
Cette conjecture avait été proposée par le mathématicien belge Eugène Catalan en 1844, dans le célèbre Journal de Crelle. Elle vient d'être démontrée, près d'un siècle et demi plus tard, par le mathématicien roumain Preda Mihailescu, qui travaille à l'université de Paderborn en Allemagne. Ce fait d'armes intervient après de nombreux travaux, le plus célèbre étant un résultat de Tidjemann en 1976 qui avait montré que l'équation de Catalan n'avait qu'un nombre fini de solutions. On aurait pu espérer une solution informatique au problème, en essayant tous les cas, mais ils sont bien trop nombreux.
La résolution de la conjecture de Catalan n'était pas en soi très importante. On peut juste espérer que les méthodes employées par Mihailescu puissent s'appliquer dans d'autres domaines, un peu comme les progrès de l'arithmétique sont désormais utiles en cryptographie.
