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Avec des paramètres - 1 - Bibm@th.net

Exercice 1

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Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R && \displaystyle \mathbf 2.\ \cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac bn,\ a,b\in\mathbb R.\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{1}{an+b}-\frac{c}n,\ a,b,c\in\mathbb R,\ (a,b)\neq (0,0) \end{array}$$

Indication

Corrigé

On réalise un développement limité du terme général : $$e^{\frac 1n}-a-\frac{b}n=(1-a)+\frac{1-b}n+O\left(\frac 1{n^2}\right).$$ Si $a\neq 1$, alors $e^{\frac 1n}-a-\frac{b}n\to (1-a)\neq 0$ et la série diverge. Si $a=1$ et $b\neq 1$, alors $e^{\frac 1n}-a-\frac{b}n\sim_{+\infty}\frac{1-b}n$ et la série diverge. Si $a=1$ et $b=1$, alors $e^{\frac 1n}-a-\frac{b}n=O\left(\frac1{n^2}\right)$ et la série converge.
Avec un raisonnement similaire, en notant $u_n$ le terme général, $$u_n=\cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac{b}n=(1-a)-\frac{b}n-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right).$$ Si $a\neq 1$, alors $u_n\to 1-a\neq 0$ et la série diverge (grossièrement). Si $a=1$ et $b\neq 0$, alors $u_n\sim_{+\infty}\frac{-b}n$ et par comparaison à une série de Riemann divergente, la série diverge. Si $a=1$ et $b=0$, alors $u_n\sim_{+\infty}\frac{-1}{2n^2}$ et par comparaison à une série de Riemann convergente, la série converge. Dans ce cas, la série converge donc si et seulement si $a=1$ et $b=0$.
Remarquons d'abord que si $b=0$, alors le terme général de la série est $\left(\frac 1a-c\right)\frac 1n$ et donc que la série converge si et seulement si $ac=1$. Supposons maintenant $b\neq 0$. Si $a=0$, le terme général de la série tend vers $\frac 1b\neq 0$ et donc la série diverge grossièrement. On peut donc supposer que $a=\neq 0$. Dans ce cas, un développement limité donne \begin{align*} \frac{1}{an+b}-\frac cn&= \frac{1}{an}\left(\frac1{1+\frac{b}{an}}\right)-\frac cn\\ &=\frac{1}{an}\left(1-\frac{b}{an}\right)-\frac cn+o\left(\frac1{n^2}\right)\\ &=\left(\frac 1a-c\right)\frac 1n-\frac{b}{a^2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right). \end{align*} Si $ac\neq 1$, alors le terme général est équivalent à $\left(\frac 1a-c\right)\frac 1n$ et donc on a divergence par comparaison à une série de Riemann divergente. Si $ac=1$, alors le terme général est équivalent à $\frac{b}{a^2n^2}$ et on a convergence par comparaison à une série de Riemann convergente.
En résumé, on a convergence si et seulement si $ac=1$.