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Les cigales et les nombres premiers

Des cigales qui ont un cycle de 17 ans

On a, depuis Jean de la Fontaine, une image un peu ingrate des cigales, qui seraient un insecte insouciant. Pourtant, la partie visible (ou plutôt audible!) de la vie des cigales, ces quelques semaines d'été où elles chantent à tue-tête, ne constitue qu'une petite partie de leur vie. En effet, vers la fin de l'été, les femelles pondent des oeufs dans la moelle des tiges. Ces oeufs, plus d'une centaine par femelle, vont, après incubation, grandir jusqu'à éclore au mois d'octobre, donnant naissance à des larves. Ces larves vont alors s'enfouir dans le sol pour se protéger du froid de l'hiver.

Les larves passent plusieurs années dans le sol, en général de deux à cinq ans. Elles creusent des galeries dans le sol, se nourissent des racines des arbres, et grandissent par mues successives. Lorsque la dernière mue a lieu, la nymphe attend des conditions favorables, généralement une température minimale, pour sortir de terre. Elle grimpe alors au sommet d'un support, et une dernière métamorphose la transforme en cigale.

Comme mentionné plus haut, la durée d'un cycle de vie pour la plupart des espèces de cigales est de l'ordre de 2 à 5 ans. Pourtant, il existe dans l'est américain plusieurs espèces de cigales, une quinzaine, qui ont un cycle nettement plus long. On les appelle cigales périodiques. De façon très étrange, pour toutes ces espèces de cigales périodiques, la durée du cycle ne prend que deux valeurs : 13 ans ou 17 ans. Et il ne faut pas croire que ces cigales sont rares. Lors de la dernière éclosion de l'espèce la plus prolifique, les Magicicada septendecim, en 2013, ce sont 100 milliards d'individus qui sont apparus en quelques jours, dont un milliard pour la seule ville de New-York!

Pourquoi 17 ans?

Évidemment, le fait que la longueur d'un cycle soit 13 ou 17 ans, et pas 14 ni 16, fait s'interroger les scientifiques. Le paléontologue Stephen Jay Gould, un des plus grands paléatonlogues du XXiè siècle, a proposé une explication très intéressante à ce phénomène, basé sur des propriétés mathématiques simples des nombres premiers.

Les nombres 13 et 17 ont la particularité d'être des nombres premiers. Cela signifie qu'ils ne sont divisibles que par 1 et par eux-même. Alors que 12=3×4=2×6 ou que 18=2×9=3×6, il n'est pas possible d'écrire 13 autrement que 13=13×1. Les nombres premiers sont souvent décrits comme les atomes des mathématiques : impossible de les casser en plusieurs parties. En revanche, en effectuant des produits de nombres premiers, on peut retrouver n'importe quel nombre.

L'explication proposée par S. J. Gould est liée à la sélection naturelle. Il est fort possible qu'il y a très longtemps, les cigales périodiques avaient un prédateur ayant lui aussi un cycle périodique, mais plus court. Imaginons que la durée du cycle de ce prédateur soit de 4 ans, et qu'il soit confronté à des cigales de période 12 ans et des cigales de période 13 ans. Puisque 12 est un multiple de 4, si les cigales de période 12 ans sont confrontées une année à leur prédateur, elles y seront confrontées à chaque apparition, tous les 12 ans. Pour les cigales de période 13 ans maintenant, si elles sont confrontées à leur prédateur une année, elles ne le seront pas lors de leur prochaine apparition, puisque ce prédateur apparaitra la douzième année et la seizième année, mais pas la treizième. Et en fait, la prochaine fois où les cigales de période 13 ans seront confrontées à leur prédateur, ce sera 4×13=52 ans après la fois précédente, lors de leur quatrième apparition. Voila qui peut expliquer pourquoi ces cigales ont proliféré, et pas celles de période 12 ans.

La propriété que l'on utilise ici concernant les nombres premiers est le fait que, si $p$ est un nombre premier et $n$ un entier strictement inférieur à $p$, alors leur plus petit multiple commun est $p\times n$. C'est une particularité des nombres premiers qui peut en partie justifier leur importance dans des phénomènes naturels.

L'idée de cet article vient du livre de Marcus du Sautoy intitulé Le mystère des nombres.