$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

  Dans les énigmes suivantes, il vous faut trouver la meilleure stratégie pour répondre au problème posé.
Premier à cent!
  Un jour, alors qu'il faisait un long voyage en voiture, Nérosson proposa à sa femme le jeu suivant :

"On va choisir chacun à son tour un nombre entre 1 et 10 et on va l'ajouter au total précédent. Le premier qui atteint 100 (exactement) a gagné. Allez, je commence."

  Ils firent quelques parties, et à chaque fois le bougre gagna. Mais comment faisait-il?

Augmentation de salaire
  Dans un monde féérique, vous êtes embauché par une entreprise qui vous propose deux types de contrat. Dans le premier contrat, vous êtes payé chaque mois, et à chaque échéance, vous êtes augmenté de 150 euros. Dans le deuxième contrat, vous êtes payé deux fois par mois (la première fois bien sûr, moitié moins que pour le premier contrat), et à chaque échéance, vous êtes augmenté de 50 euros. Quel contrat choisissez-vous?

Le jeu du croque
  Le Croque est un jeu à deux joueurs qui se joue sur une tablette de chocolat. Le premier joueur choisi un carré et mange tous les carrés situés au dessus et à droite. Le second joueur choisit ensuite un des carrés qui n'a pas été mangés et mange tous les carrés situés au dessus et à droite. Puis c'est au tour du premier joueur de choisir un carré. Le jeu continue jusqu'à ce que l'un des joueurs mange le carré tout en bas à gauche, lequel est empoisonné et ce joueur perd la partie. Une image valant mieux qu'une longue explication :

  Supposons que les cases X, Y et Z soit choisies dans cet ordre, j'ai colorié en rouge, jaune puis en vert toute les cases qui sont retirées. La case P est la case à ne pas prendre.

  Si on a une tablette comportant 2 lignes, et $n$ colonnes, y-a-t-il une stratégie gagnante pour un des deux joueurs?

Enigme posée par Tibo sur le forum.

Le banni, l'urne et les jetons
  Un des membres du forum de la Bibm@th a eu un comportement violant les règles de fonctionnement. Yoshi, le grand modérateur, se voit dans l'obligation de le bannir. Mais il déteste devoir faire usage de la force, et lui propose le jeu suivant : "Voici 100 jetons : 50 jetons noirs, 50 jetons blancs. Voici deux urnes. Tu peux disposer dans chacune des urnes autant de jetons noirs et de jetons blancs que tu veux, du moment que tous les jetons se trouvent dans les urnes (et qu'aucune urne ne soit vide). Ensuite, je vais te bander les yeux et mélanger les deux urnes. Tu vas alors en choisir une, puis tirer un jeton au hasard dans cette urne. S'il est blanc, tu pourras revenir sur le forum. S'il est noir, je te bannis".

  Comment le membre doit-il répartir les jetons dans chaque urne pour optimiser ses chances d'éviter le bannissement?

Les trois frères
  Trois frères sont internes dans le même lycée. Tous les dimanches soir ils ont un train à prendre; celui-ci quitte la gare à 21 heures tapant. La voiture des parents est en panne. Ils doivent donc se débrouiller avec les moyens du bord. La distance qui sépare leur domicile de la gare est de 16 km. Il disposent en tout et pour tout d'un vélo de course et d'un v.t.t.

Sachant que le vélo de course avance à 30 km/h , le vtt à 20 km/h , les marcheurs à 6 km/h, à quelle heure doivent-ils partir au plus tard pour qu'aucun des frangins n'ait à camper dans le hall de gare ?

D'après une énigme posée par jpp sur le forum.

Les prisonniers et les chapeaux
  Un groupe de 12 prisonniers doit être exécuté demain. Les gardes leur laisse une dernière chance de vivre s'ils sont capables de répondre au problème suivant : les 12 prisonniers sont partagés en deux groupes de 6, qui sont isolés dans deux pièces différentes et ne se voient pas. On les appellera groupe A et groupe B. A chaque prisonnier, on donne un chapeau, qui est rouge ou vert. On leur précise aussi que le nombre total de chapeaux de chaque couleur distribué est pair (ex: 12 rouges/0 vert, 10 rouges/2 verts, ...).

Le groupe B doit deviner le nombre de chapeaux de chaque couleur pour les deux groupes. Pour cela, ils ont droit à un procédé en plusieurs temps :
  1. Le groupe A dit le mot "Vrai" ou "Faux" à un garde, qui le transmet au groupe B.
  2. Si le groupe B est incapable de deviner le nombre de chapeaux, alors à nouveau le groupe A peut transmettre le mot "Vrai" ou "Faux" au groupe B.
  3. Le groupe B doit alors impérativement trouver le bon nombre de chapeaux, sinon, c'est la mort pour tous.
Les prisonniers vont-ils pouvoir s'en sortir?

Le bar de Fred
  Chaque vendredi soir, les habitués du forum de la Bibm@th se retrouvent au bar de Fred. Au bord du comptoir, on trouve 25 chaises alignées. Comme il déteste cordialement ses congénères, chaque membre suit les règles tacites suivantes : lorsqu'il arrive, il s'assoit sur la chaise la plus éloignée des chaises déjà occupées, et jamais sur une chaise directement à côté d'un autre membre. Il préfère alors repartir.

  Evidemment, le bar de Fred ne fait pas le plein, et ses finances sont en péril. Alors, vendredi prochain, lorsque le premier membre arrivera, sur quelle chaise Fred le fera-t-il s'assoir pour optimiser son bénéfice de la soirée?

Les mafiosi et le butin de cocaine
   Nous sommes en Sicile. 5 membres d'une famille de mafiosi doivent se partager un butin de 512kg de cocaine. Nous sommes en Sicile, et le respect des anciens fait que c'est au plus âgé de proposer un partage de ce butin. Mais attention, il faut que au moins 50% des autres mafiosi soient d'accord. Sinon, il reçoit une balle dans la tête, et les 4 autres mafiosi se partagent alors le butin restant. On fait les hypothèses suivantes :
  1. les mafiosi disposent d'une balance précise au kg près;
  2. les mafiosi aiment l'argent, leur but est d'obtenir le gain le plus élevé possible;
  3. les mafiosi aiment la vie, ils n'ont aucune envie d'être tués;
  4. les mafiosi sont très intelligents et agissent de façon rationnelle;
  5. les mafiosi sont cruels : à gain égal, ils tueront l'ainé!
Combien de mafiosi vont mourir? Quel va être le partage entre les mafiosi restant en vie?

L'électricien
  Un électricien installe un câble souterrain de 10 fils pour relier 2 bâtiments visuellement isolés. Il se rend compte qu'il a oublié de marquer les fils. Il dispose d'une batterie et d'une ampoule (ou d'un testeur de continuité), d'un jeu de domino pour relier les fils, ainsi que des étiquettes pour les marquer. Comment peut-il repérer les fils qui correspondent de chaque coté du câble en seulement un aller-retour?

Enigme postée sur le forum par ouni anouar

Le grenadier et le soldat
  Un grenadier est face à 5 trous, alignés de gauche à droite devant lui. Il désire éliminer un soldat, qui se cache dans l'un des 5 trous. Le soldat peut passer d'un trou à l'autre sans que le grenadier ne le voit. Il se déplace systématiquement d'un trou à un trou directement voisin chaque fois qu'une grenade vient d'exploser.

Y a-t'il une stratégie qui permette au grenadier de tuer le soldat ? Si oui, combien de grenades faut-il lancer? Si oui laquelle, sinon pourquoi ?

Test d'embauche chez Microsoft
   On dispose de deux boules en verre parfaitement identiques. On peut les lancer d'un gratte-ciel de 100 étages, et on souhaite savoir à partir de quel étage les boules cassent lorsqu'elles tombent au sol.

   Quelle est la stratégie optimale pour effectuer, dans le pire des cas, le moins de lancers possibles sachant que l'on ne dispose que de deux boules et que si l'une casse, il faut déterminer l'étage avec l'autre, sans jamais la casser avant l'étage fatidique ?

   Cette énigme était une question utilisée autrefois dans les tests d'embauche chez Microsoft. Et la légende dit que les spécialistes de la firme américaine ne proposaient pas la solution optimale !

Les concierges
  Par diverses rumeurs, des concierges d'immeubles de très grand standing ont eu connaissance du dernier scandale qui secoue la ville de New-York. Chacune dispose d’informations très partielles qui ne se recoupent pas nécessairement entre elles. Toutes réunies, elles parviendraient à reconstituer l’histoire complète de ce scandale.

  Au cours de conversations téléphoniques exclusivement bilatérales, elles échangent toutes les informations en leur possession et à l’issue d’un nombre minimal de cent appels téléphoniques, elles parviennent à tout savoir du scandale. Combien y avait-il de concierges au maximum?

Enigme suggérée par Freddy sur le forum

Le test à piles - problème ouvert
  Une puissante lampe de poche fonctionne avec 4 piles type LR03 de 1,5 volt. Si l'une d'elles est défaillante, la lampe ne fonctionne plus. En préparant mon sac pour faire de la spéléo le prochain WE, je me mets à chercher des piles neuves pour cette lampe. Je me souviens que ma femme, particulièrement ordonnée, avait rangé dans le même tupperware 16 piles du modèle souhaitées, mais en avait par mégarde mélangé 8 neuves avec 8 défaillantes. Partie chez sa mère pour 15 jours, je me retrouve bien embarrassé. Comment trouver parmi ces 16 piles 4 piles en bon état de fonctionnement en un nombre minimum d'essais.

Le craps
  Dans ce jeu de dés, on lance deux dés cubiques (parfaitement équilibrés), et on regarde la somme des deux dés.
  • Votre adversaire parie 10 euros que vous obtiendrez un 8 avant de faire un 7… vous acceptez!
  • Il parie ensuite 10 euros que vous obtiendrez un 8 avant de faire 7... vous acceptez!
  • Il parie enfin 1000 euros que vous obtiendrez un 8 et un 6 avant de faire deux 7.
Acceptez-vous encore le pari???

Venez partager vos énigmes sur notre forum