Études des fonctions

mouaniper · 20-12-2016 22:31:19

Étape de l'étude :
-Domaine de définition ou d'études
-Calcul des limites aux bornes du Df ou de
-Étude de la parité ou de la périodicité
-Calcul de la fonction dérivée et tableau de variation
-Calcul de la dérivabilité
-Recherche des Asymptote
-Recherche des points de rencontre avec les axes (OI) et(OJ)
-Tracer de la courbe et ses éléments ( extremum,asymptotes,tangentes,axe de symétrie)

Les fonctions sont les suivantes :
[tex]f(x)=x^2-4x+7[/tex]
[tex]f(x)= \frac{1+x}{1-x}[/tex]
[tex]f(x)= \sin x[/tex]
[tex]f(x)= \frac{x^2+2x-3}{x+1}[/tex]

[tex]f(x)= \sqrt{x^2-4}[/tex]

Dernière modification par yoshi (21-12-2016 09:05:21)

yoshi · 21-12-2016 09:08:46

Salut,

Et alors ?
Qu'attends-tu ?
Qu'on fasse le boulot à ta place ? Niet !

Commencer donc par finir le premier exercice que tu avais posé ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 582#p62582

@+

mouaniper · 21-12-2016 10:03:53

Bonjour,

[tex]f(x)=x^2-4x+7[/tex]

-D_f=|R
-Calcul des limites aux bornes du Df
[tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2-4x+7= +\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2-4x+7= +\infty[/tex]
-Études de la parité
\begin{cases}f(-x) = f(x) paire \\f(-x) = -f(x) impaire \end{cases}
[tex]f(-x)=-x^2+4x-7=-(x^2-4x+7)=-f(x)[/tex]

-------------------------------------------------------------------

[EDIT]by Yoshi
[tex]D_f=\mathbb{R}[/tex]

C'est mieux comme ça -non ?) :
[tex]\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2-4x+7= +\infty[/tex]
[tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2-4x+7= +\infty[/tex]
Pourquoi 2 fois la même chose ?

[tex]\begin{cases}f(-x) = f(x) \text{ paire} \\f(-x) = -f(x) \text{ impaire} \end{cases}[/tex]

Ceci pour que tu puisses éditer ton post et voir les suggestions

Dernière modification par yoshi (21-12-2016 10:45:07)

yoshi · 21-12-2016 10:53:00

Re,

Avec [tex]f(x)=x^2-4x+7[/tex], on obtient [tex]f(-x)=(-x)^2-4(-x)+7 =x^2+4x+7[/tex]
Donc, tu as faux, f telle que [tex]f(x)=x^2-4x+7[/tex] n'est ni paire, ni impaire...

Deux questions :
Pourquoi chez toi le $x^2$ devient-il $-x^2$ ?
Pourquoi, chez toi, lorsque tu remplaces $x$ par $-x$ tu changes 7 en -7 ????

@+

mouaniper · 21-12-2016 16:30:32

Je suppose que le moins, multiplie toute la fonction!

yoshi · 21-12-2016 16:54:07

Salut,

Et non !

@+

mouaniper · 21-12-2016 17:39:45

Merci!
-Fonction dérivée, pour la première fonction :
[tex]f' (x)=2x-4[/tex]
-Tableau de variation
[tex]\begin{array} {|c|cccc||} x & -\infty & 2 & +\infty & \\ {f'(x)} & - & 0 & + & \\ &+\infty& | &+\infty & \\ {f(x)}& \searrow &3&\nearrow& \end{array}[/tex]
-Pas d'asymptote!

yoshi · 21-12-2016 18:27:24

Re,

Oui.
Et bravo pour le tableau !

@+

mouaniper · 21-12-2016 18:36:04

Stp; selon toi calculer la dérivabilité, c'est encore rechercher la fonction dérivée?

yoshi · 21-12-2016 18:40:04

Re,

Je me posais justement la question :
Pour moi étudier la dérivabilité, c'est étudier si la dérivée existe ! Et j'étais très étonné qu'on te demande de calculer d'abord la dérivée pour te demander après si elle existe...
C'est curieux.
Je regarde ça de plus près...

@+

[EDIT] Après avoir remis le nez dans les définitions, pour que la question ait un sens, je pense qu'il faut la comprendre comme ça :

Pour chaque fonction si la dérivée existe, vérifiez si cette fonction est dérivable en tout point de [tex]\mathcal{D}[/tex] (domaine de définition ou intervalle d'études...)

Une fonction f n'est dérivable en un point d'abscisse a que si et seulement si
[tex]\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] est finie...

Dernière modification par yoshi (21-12-2016 19:03:09)

mouaniper · 21-12-2016 22:21:56

[tex]f(x)=sinx[/tex]
-[tex]Df=|R[/tex]
*Calcul des limites aux bornes du [tex]Df[/tex]
-Pas de limites aux bornes du [tex]Df[/tex]
*Étude de la périodicité, de l'imparité
-Périodicité
[tex]\begin{cases} &x \in Df, alors (x+2\pi) \in Df \\ \forall &x\in R,f(x+2\pi)=f(x)\end{cases}[/tex]
[tex]f(x+2\pi)=sin(x+2\pi)\Rightarrow sinxcos2\pi+cosxsin2\pi=sinx[/tex]
D'où [tex]f(x+2\pi)=f(x)[/tex]
-Imparité
[tex]\begin{cases} &(-x)\in Df, alors (x) \in Df \\ \forall &x\in R,f(-x)=f(x)\end{cases}[/tex]
[tex]f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)[/tex]
D'où [tex]f(x)[/tex] est impaire.
*Fonction dérivée
[tex]f'(x)=cosx[/tex]
*Tableau de variation de la fonction sinus :
Domaine d'études, l'intervalle[tex] [0;\frac{\pi}{2}][/tex]
[tex]\begin{array} {|c|cccccc||} x & 0 & & \frac{\pi}{2} & &\pi & \\ {f'(x)} &+ && 0 && - & \\ && &|& && \\ {f(x)} &0& \nearrow &1 & \searrow &0& \end{array}[/tex]
*Recherche des asymptotes
-Pas d'asymptote
*Étude de la dérivabilité
-Pas dérivable
*Recherche des points de rencontre avec l'axe (OI) et l'axe (OJ):
-l'axe (OI): [tex]f(x)=0\Rightarrow sinx=0 \Rightarrow x=0[/tex]
-l'axe (OJ): f(0); Pas possible
*Tracer de la courbe et ses multiples éléments :
-J'ignore comment poster cette courbe ici. Car j'ai l'application géogebra; mais je ne maîtrise pas son utilisation.

Dernière modification par mouaniper (02-01-2017 09:12:15)

mouaniper · 21-12-2016 22:23:35

Bonsoir; y'a t-il un tableau de variation, pour les fonctions trigonométriques?

mouaniper · 21-12-2016 22:42:53

Mais la première fonction a une fonction dérivée [tex]f'(x)=2x-4[/tex], n'es ce pas sa dérivé? Où faudrait qu'elle soit finie? À ce que que je saches; elle est dérivable aux bornes de son [tex]Df[/tex].

yoshi · 22-12-2016 11:01:10

Salut,

Oui, il y a un tableau de variation pour les fonctions trigonométriques, comme pour toute fonction...

Dérivabilité.
C'est subtil : je ne crois pas avoir jamais répondu à cette question sur ce forum depuis plus de 10 ans...
Donc, tu n'as pas compris la définition que je t'ai donnée...
Alors, on va dire ça autrement...
Soit une fonction $f$ donnée définie sur un domaine $D_f$.
[tex]f'(x)[/tex] est sa dérivée : tu peux "toujours" la calculer, c'est juste une affaire de technique...
[tex]f'(a)[/tex] est le nombre dérivé au point d'abscisse a, autrement dit la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$...
[tex]f('a)[/tex] est la limite de [tex]\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/tex] quand $x$ tend vers $a$, la définition dit que la fonction f est dite dérivable en a si f'(a) est finie, ou si tu préfères, n'est pas infinie...
Donc, le coefficient directeur de la tangente ne doit pas être infini, ce qui veut dire que ta tangente à la courbe au point d'abscisse a ne doit pas être verticale...
Ça y est ?
Même si la dérivée existe, ce n'est pas pour autant que le nombre dérivé en un point précis existe toujours, lui.
Dans ta liste, j'ai repéré une fonction où c'est le cas.
1. [tex]f(x)=\sqrt{x^2-4}[/tex]. Les formules classiques permettent de calculer la dérivée f'(x)..
2. MAIS, es-tu sûr que [tex] \forall a \in D_f[/tex], tu peux trouver [tex]f'(a)[/tex] ?
Cherche donc [tex]f'(2)[/tex] pour voir...

@+
*
[EDIT]La mémoire est parfois trompeuse ; j'ai participé à une discussion sur la dérivabilité en 0 de [tex]x\sqrt x[/tex] il y a 4 ans :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=5726

Dernière modification par yoshi (22-12-2016 13:51:23)

mouaniper · 23-12-2016 23:10:53

Bonsoir; jusqu'ici, ai je faussé?

yoshi · 24-12-2016 09:10:02

Salut,

1. Il manque dérivabilité de [tex]f(x)=4x^2-4x+7[/tex] et les questions suivantes.

2. Fais-tu attention à ce que tu écris ?
Comment peux-tu sur une ligne écrire
[tex]-1\leq\sin x\leq 1[/tex]
et sur la ligne suivante ;
[tex]\lim\limits_{x\to +\infty} \sin(x) =+\infty[/tex] ???
Et pire encore sur la ligne suivante la même limite est [tex]-\infty[/tex]
Tu es incohérent !
As-tu tracé la courbe représentative de [tex]\sin x[/tex] ?
Réponse : non !!!
Quand vas-tu comprendre ?

Parité ?
Dérivabilité ?

@+

mouaniper · 29-12-2016 07:54:18

Oui, pour fonction polynôme; il manque dérivabilité et les questions suivantes, je ne l'ai pas oublier. Je reviendrai là dessus, ma préoccupation était la fonction trigonométrique et la fonction irrationnelle. Laquelle des confusions; ais-je fais entre parité/imparité; et dérivabilité?

yoshi · 29-12-2016 10:41:31

Salut,

Je reviendrai là dessus, ma préoccupation était la fonction trigonométrique et la fonction irrationnelle. Laquelle des confusions; ais-je fais entre parité/imparité; et dérivabilité?

Je crois que tu ne lis pas ce qu'on t'écrit !
1. Tu n'as pas encore évoqué de fonction irrationnelle.
2. Fonction sinus : tu n'as pas évoqué la parité, juste les limites et la périodicité...
Donc
a) Parité : tu n'en as pas parlé. Difficile de te dire dans ces conditions si c'est vrai ou faux. N'est-ce pas ?
b) Périodicité : tu n'as répondu à tes propres calculs...
Je te rappelle la définition : f est périodique de période T si [tex]\forall x \in \mathcal{D}_f, f(x+T)=f(x)[/tex]
Avec tes calculs, la réponse serait pour toi : non.
Alors qu'on peut simplement dire que [tex]\pi[/tex] n'est pas la période cherchée : pourtant la fonction $\sin$ est bien périodique...
c) Limites. Ce que tu as écrit est du grand n'importe quoi ! Vu tes questions je me demande si tu m'as lu autrement qu'en diagonale...
Je t'ai écrit :

Fais-tu attention à ce que tu écris ?
Comment peux-tu sur une ligne écrire
[tex]-1\leq\sin x\leq 1[/tex]
et sur la ligne suivante ;
[tex]\lim\limits_{x\to +\infty} \sin(x) =+\infty[/tex] ???
Et pire encore sur la ligne suivante la même limite est [tex]-\infty[/tex]

Si tu te présentais à un Oral de Maths lors d'un examen et où moi je suis l'examinateur, je te renverrais tout de suite avec 1/20...

Combien de fois t'ai-je demandé de tracer les courbes ? Tu éviterais de sortir des bourdes énormess

Tu n'as pas ce qu'il faut ? Dis-le et je te dirai où trouver ce qu'il faut...
Tu as ce qu'il faut, mais tu te dis que je vais me lasser et le faire à ta place. Ok ! C'est la dernière fois...

@+

mouaniper · 29-12-2016 15:15:07

Bonsoir! Je n'ai vraiment pas ce qu'il faut.

yoshi · 29-12-2016 15:42:01

Re,

Ok ! Même pas de calculatrice graphique CASIO ou TI ?
Geogebra est ce qu'il te faut, site officiel : https://www.geogebra.org pour toutes infos
Pour le télécharger : https://www.geogebra.org/download.

Si c'est trop lourd - ce serait dommage ! - pour fonctionner sur ton ordi, dis-le, je t'indiquerai autre chose par exemple ici : http://www.bibmath.net/geolabo/tele/index.php3
Et tu choisis de cliquer sur : le programme d'installation de GeoLabo. Pas la version avec Java parce que Java est déjà sur ta machine

Mais tu ne réponds pas à mes critiques sur ce que tu as fait...
Notamment, comment peux-tu écrire :
[tex]-1\leqslant\sin x\leqslant 1[/tex]
ce qui est juste
et écrire après que :
[tex]\lim_{x\to +\infty} \sin x = +\infty[/tex] ????
Puisque [tex]\sin x \leqslant 1[/tex] comment [tex]\sin x[/tex] pourrait-il tendre vers [tex]+\infty[/tex] ?
Ça ne tient pas debout !!!

Pire, tu écris sans sourciller que :
[tex]\lim_{x\to +\infty} \sin x = +\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to +\infty} \sin x = -\infty[/tex]
As-tu déjà vu une fonction qui tende en même temps + et -oo quand x tend vers +oo ? Moi, encore pas ! Mais j'en cherche une, qui sait ?
Probablement as-tu voulu écrire :
[tex]\lim_{x\to +\infty} \sin x = +\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to -\infty} \sin x = -\infty[/tex]
Mais, c'est faux dans les deux cas...

@+

mouaniper · 29-12-2016 15:59:25

Stp, je n'ai pas de machine; j'utilise un portable Android.
Si je te comprends bien, l'on ne calcul pas les limites avec les fonctions trigonométriques( sinus, cosinus, tangentes)?
Pour cette fonction sinus, je n'ai pas étudier la parité/imparité; car fonction trigonométrique, donc uniquement la périodicité.

yoshi · 29-12-2016 16:37:50

Re,

Geogebra https://www.geogebra.org/download et tu choisis la version téléphone Androîd..

je n'ai pas étudier la parité/imparité; car fonction trigonométrique, donc uniquement la périodicité.

Et pourquoi donc ?

Si je te comprends bien, l'on ne calcul pas les limites avec les fonctions trigonométriques( sinus, cosinus, tangentes)?

pour les fonctions de base, sin et cos, effectivement...
Pour tan
[tex]\lim_{x\mapsto +\frac{\pi}{2}}\tan(x)=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\mapsto -\frac{\pi}{2}}\tan(x)=-\infty[/tex]

Mais le pb était encore autre ;
si [tex]\forall x,\;f(x)\leqslant 1 [/tex] alors tu ne peux pas écrire aussi que [tex]\lim_{x\mapsto +\infty} f(x)=+\infty[/tex] c'est contradictoire !!!

@+

mouaniper · 01-01-2017 12:46:49

[tex]f(x)=x^2-4x+7[/tex]
*[tex]Df=|R=]-\infty;++\infty[ [/tex]
*Calcul des limites aux bornes du [tex]Df[/tex]:
[tex]\lim_{x \rightarrow -\infty}x^2-4x+7=\lim_{x \rightarrow -\infty}x^2=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}x^2-4x+7=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty[/tex]
*Étude de la parité/imparité, puis périodicité :
-ni paire
-ni impaire
-jamais périodique (car fonction polynôme)
*Calcul de la fonction dérivée, et tableau de variation
[tex]f'(x)=2x-4[/tex]

[tex]\begin{array} {|c|cccccc||} x & -\infty & &2& & +\infty & \\ {f'(x)} & - && 0 && + & \\ &+\infty &&|&&+\infty& \\ {f(x)}&&\searrow &3&\nearrow && \end{array}[/tex]
*Recherche des asymptotes
- Pas d'asymptotes
*Étude de la dérivabilité :
- Pas dérivable
*Recherche des points de rencontre avec l'axe (OI) et l'axe (OJ):
-l'axe (OI): [tex]f(x)=0 \Rightarrow x^2-4x+7=0
\Delta=(-4)^2-4(1)(7)\\ \Delta=16-28\\ \Delta=-12\Rightarrow \Delta<0[/tex]
-l'axe (OJ): [tex]f(0)[/tex]
[tex]f(x)=x^2-4x+7\Rightarrow f(0)=7[/tex]
*Tracer de la courbe et ses multiples éléments :
-J'ignore comment poster cette courbe ici. Car j'ai l'application géogebra; mais je ne maîtrise pas son utilisation.

yoshi · 01-01-2017 13:20:02

Re,

Bah c'est une "bête parabole ouverte par le haut, dont le sommet a pour coordonnées (2 ; 3) , ce qui explique qu'il n'y a pas d'intersections avec (OI) mais une avec (OJ). Pas besoin d'image pour ça, ni pour le sinus...
Quant à mettre une image, trace ta courbe avec GeoGebra, prends-une une copie d'écran, puis envoie-là vers le dossier de ta machine.
Ensuite uploade cette image comme je te l'ai déjà expliqué...

Pour utiliser Geogrebra les bases sont assez intuitives, sinon, utilise l'aide ou lis les nombreux tutoriels disponibles.

@+

mouaniper · 02-01-2017 11:34:02

[tex]f(x)=\sqrt {x^2-4}[/tex]
-[tex]Df=]-\infty;-2]U[2;+\infty[ [/tex]
*Calcul des limites aux bornes du Df:
[tex]\lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^2-4}= \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^2}=+\infty [/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2-4}= \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2}=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} \sqrt{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow -2} \sqrt{x^2-4}=0[/tex]
*Étude de la parité:

[tex]\begin{cases} & \ si (-x) \in Df, alors x \in Df \\ & \forall x \in Df, f(-x)=f(x) \end{cases}\\ f(-x)=\sqrt{(-x)^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x) [/tex]
D'où, la fonction [tex]f[/tex] est paire.
*Fonction dérivée
[tex]f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}= \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}[/tex]
*Tableau de variation de la fonction:

[tex]\begin{array} {|c|cccccc||} x &-\infty& -2 && 2 &+\infty& \\ {f'(x)} & - & || & - & || & + & \\ \\ {f(x)} & \searrow &&\searrow & 0 & \nearrow & \end{array}[/tex]
*Recherche des asymptotes
-Pas d'asymptote
Asymptote verticale au cas où, x=2; et que [tex]\lim_{x \rightarrow 2} f(x)=±\infty[/tex]
*Étude de la dérivabilité
[tex]\lim_{x \rightarrow -2} \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{x^2-4}-0}{x+2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{x-2}{x+2} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{-4}{0}[/tex]
D'ou, [tex]f[/tex] n'est pas dérivable en -2.
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-4}-0}{x-2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x-2}=1[/tex]
D'où, [tex]f[/tex] est dérivable en 2.
*Recherche des points de rencontre avec l'axe (OI) et l'axe (OJ):
-l'axe (OI):
[tex]f(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2-4}=0 \\ \Rightarrow x^2-4=0 \\ \Rightarrow (x-2)(x+2)=0\\ \Rightarrow x=2~ou~x=-2[/tex]
-l'axe (OJ):
[tex]f(0)\Leftrightarrow \sqrt{(0)^2-4} \Rightarrow \sqrt{0-4} \Rightarrow \sqrt{-4}[/tex]
n'existe pas!

Dernière modification par mouaniper (02-01-2017 14:38:06)

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#1 20-12-2016 22:31:19

Études des fonctions

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