Formulaire de Mathématiques : Lois discrètes de probabilités

Loi de Bernoulli

Loi binomiale

Notation : $ X \sim \mathcal{B}(n, p) $ avec $p\in[0,1]$ et $n\in\mathbb N^*.$
Valeurs prises : $X(\Omega)=\{0,1,\dots,n\}.$
Loi : pour tout $k\in\{0,\dots,n\},$ $$P(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}.$$
Espérance et variance : $$E(X)=np\textrm{ et }V(X)=np(1-p).$$
Signification : Dans un schéma de Bernouilli à $n$ expériences (répétition indépendante de $n$ expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$.

Loi hypergéométrique

Notation : $X\sim \mathcal H(N,n,m),$ $N\in\mathbb N^*,$ $1\leq n,m\leq N.$
Valeurs prises : $X(\Omega)=\{0,1,\dots,n\}.$
Loi : $$P(X=k)=\frac{\binom mk\binom{N-m}{n-k}}{\binom Nn}.$$
Espérance et variance : \[ E(X) = \frac{nm}{N} \quad \text{et} \quad V(X) = \frac{N - n}{N - 1} \cdot \frac{nm}{N} \left(1 - \frac{m}{N}\right). \]
Signification : Si on procède à un tirage sans remise de $n$ boules dans une urne contenant $N$ boules dont $m$ boules blanches, la variable aléatoire comptant le nombre de boules blanches obtenues suit une loi hypergéométrique $\mathcal H(N,n,m)$.

Loi uniforme

Notation : $X\sim \mathcal U(n).$
Valeurs prises : $X(\Omega)=\{1,...,n\}.$
Loi : pour tout $k\in\{1,\dots,n\},$ $$P(X=k)=\frac 1n.$$
Espérance et variance : $$E(X)=\frac{n+1}2\textrm{ et }V(X)=\frac{n^2-1}{12}.$$
Signification : Choix d'une issue parmi $n$, chacune de ces issues étant équiprobable (exemple : lancer d'un dé bien équilibré).

Loi géométrique

Notation : $X\sim \mathcal G(p),$ $p\in]0,1[$.
Valeurs prises : $X(\Omega)=\mathbb N^*.$
Loi : pour tout $k\in\mathbb N^*,$ $$P(X=k)=p q^{k-1}\textrm{ où }q=1-p.$$
Espérance et variance : $$E(X)=\frac1p\textrm{ et }V(X)=\frac{q}{p^2}.$$
Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui vaut le rang du premier succès suit une loi géométrique de paramètre $p$.

Loi de Poisson

Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

Notation : $X\sim \mathcal P(\lambda)$.
Valeurs prises : $X(\Omega)=\mathbb N.$
Loi : pour tout $k\in\mathbb N,$ $$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$
Espérance et variance : $$E(X)=\lambda\textrm{ et }V(X)=\lambda.$$
Signification : c'est la loi des phénomènes rares. Elle est utilisée par exemple pour modéliser le nombres de clients se présentant dans un magasin pendant un intervalle de temps donné.

Loi multinomiale

On considère $X_1,\dots,X_r$ $r$ variables aléatoires et soit $n\in\mathbb N.$

Valeurs prises : $X_1(\Omega)=X_2(\Omega)=\cdots=X_r(\Omega)=\{0,\dots,n\}.$
Loi : soit $k_1,\dots,k_r\in\mathbb N.$ Alors \[ P\left( (X_1 = k_1) \cap (X_2 = k_2) \cap \cdots \cap (X_r = k_r) \right) = \frac{n!}{k_1! \cdots k_r!} p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}. \] si $k_1+\cdots+k_r=0,$ $$ P\left( (X_1 = k_1) \cap (X_2 = k_2) \cap \cdots \cap (X_r = k_r) \right) = 0$$ sinon.
Signification : On considère une urne contenant une proportion $p_1$ de boules de type 1, $p_2$ de boules de type $2$, ..., $p_r$ de boules de type $r$ et on procède à un tirage avec remise de $n$ boules dans cette urne. Si $X_i$ désigne la variable aléatoire égale au nombre de boules de type $i$ obtenu, alors le vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_r)$ suit une loi multinomiale.

Loi de Pascal

Notation : $X\sim\mathcal P(r,p)$ où $r\in\mathbb N^*$ et $p\in]0,1[.$
Valeurs prises : $X(\Omega)=\{r,r+1,\dots\}.$
Loi : pour $k\geq r,$ $$P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}.$$
Espérance et variance : $$E(X)=\frac rp\textrm{ et }V(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$$
Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui vaut le rang du $r$-ième succès suit une loi de Pascal de paramètres $r$ et $p$.

Loi binomiale négative

Notation : $X\sim\mathcal I(r,p)$ où $r\in\mathbb N^*$ et $p\in]0,1[.$
Valeurs prises : $X(\Omega)=\mathbb N.$
Loi : pour tout $k\in\mathbb N,$ $$P(X=k)=\binom{k+r-1}k p^r(1-p)^k.$$
Espérance et variance : $$E(X)=\frac {r(1-p)}p\textrm{ et }V(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$$
Signification : dans un schéma de Bernoulli (répétition indépendante d'expériences aléatoires avec probabilité $p$ de succès pour chaque expérience), la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre d'échecs avant le $r$-ième succès suit une loi binomiale négative de paramètres $r$ et $p$.