On va faire une démonstration par l'absurde en supposant que $ad-bc\neq 0$ et que $\frac{ax+b}{cx+d}$ est un rationnel $q$. Alors on obtient
$$ax+b=qcx+dq\iff (a-qc)x=dq-b.$$
Si $a-qc\neq 0$, on obtient que $x=(dq-b)/(a-qc)$ est à la fois :
- irrationel par choix de $x$;
- rationnel comme quotient de rationnels.
C'est une contradiction. Si $a-qc=0$, on a $dq-b=0$ et donc $ad=qcd=bc.$ On trouve alors $ad-bc=0$, ce qui est là-aussi une contradiction. Finalement, on a prouvé que si $ad-bc\neq 0,$ alors $\frac{ax+b}{cx+d}$ est irrationnel.
