- Posons $u=x^2$. Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$, $u$ tend vers $+\infty$.
De plus, on a alors $f(x)=u^2e^{-u}+3ue^{-u}$. Par croissance comparée, on sait que
$\lim_{u\to+\infty}u^2e^{-u}=0$ et que $\lim_{u\to+\infty}ue^{-u}=0$, et donc par composition
des limites
$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.$$
- Il s'agit ici simplement d'écrire la définition de la limite en $+\infty$, appliquée pour $\veps=1$.
- Il s'agit ici simplement d'écrire la définition de la limite en $-\infty$, appliquée pour $\veps=1$.
- On sait que $f$ est continue. Ainsi, $f$ est bornée sur le segment $[B,A]$ : il existe un réel
$M>0$ tel que $|f(x)|\leq M$ pour tout $x\in [B,A]$. En posant $C$ le maximum de $1$ et de $M$, on
pour tout $x\in\mathbb R$, $|f(x)|\leq C$ et donc $f$ est bornée sur $\mathbb R$.
En réalité, cette méthode prouve le résultat général suivant : si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ admettant une limite finie en $+\infty$ et en $-\infty$, alors $f$ est bornée sur $\mathbb R$.
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