Un exemple d'ensemble connexe et non connexe par arcs - Bibm@th.net

Exercice 1 - Un exemple d'ensemble connexe et non connexe par arcs ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On note $A=\{(x,\sin(1/x));\ x>0\}$.

1. Démontrer que $A$ est connexe.
2. Démontrer que $\bar A=(\{0\}\times [-1,1])\cup A$.
3. Démontrer que $\bar A$ est connexe.
4. On souhaite démontrer que $\bar A$ n'est pas connexe par arcs. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe un chemin continu $\gamma:[0,1]\to\bar A$ avec $\gamma(0)=(0,0)$ et $\gamma(1)=(1,\sin 1)$. On note $\gamma(t)=(u(t),v(t))$ de sorte que, si $u(t)\neq 0$, alors $v(t)=\sin(1/u(t))$. Enfin, on note $t_0=\sup\{t\geq 0;\ u(t)=0\}$ (le dernier instant où le chemin est sur l'axe des ordonnées).
   1. Démontrer que $u(t_0)=0$.
   2. On pose $a=v(t_0)$. Justifier qu'il existe $\veps>0$ tel que, si $t_0\leq t\leq t_0+\veps$, alors $|v(t)-a|<1/2$.
   3. Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\frac{1}{2n\pi-\frac\pi 2}<u(t_0+\veps)$. Justifier qu'il existe $t_1,t_2\in [t_0,t_0+\veps]$ avec $u(t_1)=\frac 1{2n\pi-\frac \pi 2}$ et $u(t_2)=\frac{1}{2n\pi+\frac \pi2}$.
   4. Conclure.

Indication

1. Image continue d'un connexe.
3. L'adhérence d'un connexe est connexe.
4. 1. Continuité de $u$.
   2. Continuité de $v$.
   3. Théorème des valeurs intermédiaires à $u$.
   4. Théorèmes des valeurs intermédiaires à $v$.

Corrigé

1. $A$ est l'image de $I=]0,+\infty[$ par la fonction continue sur $I$ définie par $x\mapsto (x,\sin(1/x))$. Donc $A$ est connexe.
2. Prouvons d'abord que $(\{0\}\times [-1,1])\cup A\subset \bar A$. Il suffit de prouver que tout élément du type $(0,y)$, avec $y\in [-1,1]$, est dans $\bar A$. Soit $c\in [0,2\pi]$ tel que $\sin(c)=y$ et posons $t_n=\frac{1}{2n\pi+c}$, $z_n=(t_n,\sin(1/t_n))$. Alors $z_n$ est un élément de $A$, et puisque $\sin(1/t_n)=y$, $(z_n)$ converge vers $(0,y)$. Ainsi, $(0,y)\in\bar A$. Réciproquement, soit $z=(x,y)\in \bar A$. Alors, il existe une suite $(z_n)$, $z_n=(x_n,y_n)$ de $A$ qui converge vers $z$. Distinguons deux cas :
   • ou bien $x=0$. Dans ce cas, puisque $y_n=\sin(1/x_n)\in [-1,1]$, on a aussi $y\in[-1,1]$ et $(x,y)\in \{0\}\times [-1,1]$.
   • ou bien $x>0$. Soit $\delta=x/2$. Alors, à partir d'un certain rang, $z_n\in \overline B(z,\delta)\cap A$. Mais, puisque la fonction $t\mapsto \sin(1/t)$ est continue sur $[x-\delta,x+\delta]$, son graphe restreint à $[x-\delta,x+\delta]$ est fermé. Ceci prouve que $(x,y)\in A$.
   on peut montrer que si $(x,y)\notin (\{0\}\times [-1,1])\cup A$, il y a une petite boule autour de $(x,y)$ qui ne rencontre pas $A$. Un petit dessin est plus convaincant qu'un long discours!
3. L'adhérence d'un connexe est connexe, donc $\bar A$ est connexe (ceci se redémontre facilement à partir de la caractérisation de la connexité en terme de fonctions).
4. 1. Cela est une conséquence immédiate de la continuité de $u$ en $t_0$.
   2. Cela est une conséquence immédiate de la continuité de $v$ en $t_0$.
   3. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $u$ entre $t_0$ et $t_0+\veps$, puisque $\frac 1{2n\pi-\frac \pi 2}$ et $\frac 1{2n\pi+\frac \pi 2}$ sont compris entre $u(t_0)$ et $u(t_0+\veps)$, on a l'existence de $t_1$ et de $t_2$.
   4. Remarquons que $v(t_1)=-1$ et $v(t_2)=1$. Soit encore $b\in [-1,1]$ tel que $|b-a|>1/2$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $v$ entre $t_1$ et $t_2$, il existe $t\in [t_0,t_0+\veps]$ tel que $v(t)=b$ et donc $|v(t)-a|>1/2$. Contradiction!