Oraux de concours : Fractions rationnelles

On remarque d'abord que si $n=1,$ alors $P'=1$ et le calcul des deux sommes est facile. On supposera donc $n\geq 2.$ Décomposons en éléments simples la fraction rationnelle $1/P.$ Les racines de $P$ étant simples, on a $$\frac1{P(X)}=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{X-x_k}.$$ De plus, pour tout $k=1,\dots,n$, $$\lambda_k=\lim_{x\to x_k}\frac{x-x_k}{P(x)}=\frac 1{P'(x_k)}.$$ En multipliant par $x$, on a pour tout $x>\max(x_1,\dots,x_k)$, $$\frac x{P(x)}=\sum_{k=1}^n \frac 1{P'(x_k)}\times \frac x{x-x_k}.$$ Faisons tendre $x$ vers $+\infty$. Puisque $\deg(P)\geq 2$, on obtient $$\sum_{k=1}^n \frac1{P'(x_k)}=0.$$ Si $x_k\neq 0$ pour tout $k=1,\dots,n$, on obtient en évaluant en $0$, $$\frac1{P(0)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{P'(x_k)(-x_k)}\implies \sum_{k=1}^n \frac1{x_kP'(x_k)}=-\frac1{P(0)}.$$