Préparer la math sup : intégration

1. Le numérateur et le dénominateur ayant même degré, on va chercher à écrire la fraction rationnelle sous la forme $$f(x)=a+\frac{b}{x-1}+\frac c{(x-1)^2}.$$ En mettant tout au même dénominateur dans le membre de droite, on trouve $$f(x)=\frac{ax^2+x(-2a+b)+(a-b+c)}{(x-1)^2}.$$ Par identification, on trouve $a=2$, $b=1$ et $c=3$. Ainsi, les primitives de $f$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$ sont les fonctions $$F(x)=2x+\ln(x-1)-\frac 3{x-1}+d,$$ où $d$ est une constante.
2. On sait que la fraction rationnelle peut s'écrire $$\frac{2x-1}{(x+1)^2}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}.$$ Par identification (par exemple...), on trouve que $a=2$ et $b=-3$. Une primitive sur $]-1,+\infty[$ de la fonction est donc $$x\mapsto 2\ln(x+1)+\frac3{x+1}.$$
3. C'est facile, car la fraction rationnelle est sous la forme $\frac 12\times \frac{u'}{u^2}$, avec $u(x)=(x^2-4)$. Une primitive est donc donnée par $$x\mapsto \frac{-1}{2(x^2-4)}.$$
4. On essaie cette fois d'écrire $f(x)$ sous la forme $$f(x)=a+\frac b{3x-1}+\frac c{2x+1}+\frac d{(2x+1)^2}.$$ En mettant tout au même dénominateur dans le membre de droite, on trouve par identification le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&2\\ 8a+4b+6c&=&18\\ -a+4b+c+3d&=&10\\ -a+b-c-d&=&-9. \end{array} \right.$$ On résoud ce système et on trouve comme solution $a=2$, $b=-1$, $c=1$ et $d=5$. On intègre maintenant chacun des éléments simples et on trouve qu'une primitive de la fonction $f$ est $$x\mapsto 2x-\frac 13\ln |3x-1|+\frac 12\ln (2x+1)-\frac 5{2(2x+1)}.$$

1. On intègre par parties en posant : $$\begin{array}{rclcrcl} u(x)&=&x&\quad&u'(x)&=&1\\ v'(x)&=&e^x&\quad&v(x)&=&e^x. \end{array}$$ On obtient donc $$\int_0^1 xe^x dx=1e^1-0e^0-\int_0^1 e^xdx.$$ Comme on sait calculer cette dernière intégrale, on trouve finalement $$\int_0^1 xe^x dx=e-e+1=1.$$
2. On intègre par parties en posant : $$\begin{array}{rclcrcl} u(x)&=&\ln x&\quad&u'(x)&=&\frac 1x\\ v'(x)&=&x^2&\quad&v(x)&=&\frac{x^3}3. \end{array}$$ On obtient donc \begin{eqnarray*} J&=&\left[\frac{x^3}3\ln x\right]_1^e-\frac 13\int_1^ex^2dx\\ &=&\frac{e^3}3-\frac19(e^3-1)\\ &=&\frac{2e^3+1}9. \end{eqnarray*}

On pose, pour $(\alpha,\beta,n,m)\in\mathbb R^2\times\mathbb N^2$, $$I_{m,n}=\int_\alpha^\beta (t-\alpha)^m(t-\beta)^n dt.$$ On intègre par parties pour obtenir une relation entre $I_{m,n}$ et $I_{m-1,n+1}$, et on trouve \begin{eqnarray*} I_{m,n}&=&\left[(t-\alpha)^m\frac{(t-\beta)^{n+1}}{n+1}\right]_\alpha^\beta-\frac m{n+1}\int_{\alpha}^\beta (t-\alpha)^{m-1}(t-\beta)^{n+1}dt\\ &=&-\frac{m}{n+1}I_{m-1,n+1}. \end{eqnarray*} D'autre part, pour tout $p\in\mathbb N$, on a $$I_{0,p}=\int_{\alpha}^\beta (t-\beta)^pdt=-\frac{(\alpha-\beta)^{p+1}}{p+1}.$$ Une récurrence immédiate donne alors $$I_{m,n}=(-1)^{m+1}\frac{m(m-1)\dots 1}{(n+1)(n+2)\dots(n+m)}\frac{(\alpha-\beta)^{m+n+1}}{m+n+1}.$$ En particulier, l'intégrale recherché vaut $I_{n,n}$, c'est-à-dire $$I_{n,n}=(-1)^{n+1}\frac{n!}{(n+1)\dots(2n)}\frac{(\alpha-\beta)^{2n+1}}{2n+1}=(-1)^{n+1}\frac{(\alpha-\beta)^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}.$$