Préparer sa kholle - Limite et continuité

Soit $x\in\mathbb R$ et $(x_n)$ la suite définie par $x_n=x/2^n$. Alors $x_n=2x_{n+1}$, et donc on a $f(x_n)=f(x_{n+1})$. Ainsi, on obtient que pour tout entier $n$, on a $f(x_n)=f(x)$. Or, la suite $(x_n)$ tend vers 0, et $f$ est continue en 0. On en déduit que $f(x_n)\to f(0)$, et donc que $f(x)=f(0)$. Comme $x$ est arbitraire, $f$ est bien constante égale à $f(0)$.
Si $f$ vérifie la relation $f(ax+b)=f(x)$, alors soit $l$ la solution de $al+b=l$, soit $l=\frac{b}{1-a}$ (on a $a\neq 1$). Si $f$ est continue en $l$, alors $f$ va être constante. En effet, la transformation $x\mapsto ax+b$ est une homothétie de centre $l$ et de rapport $a$. On peut faire le même travail avec cette homothétie qu'avec l'homothétie $x\mapsto 2x$.

Soit $a=\lim_{+\infty} f$. Appliquons la définition de la limite pour $\veps=1$. Il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a $|f(x)-a|\leq 1$. En particulier, pour $x\in[A,+\infty[$, on a $|f(x)|\leq |a|+1$. De plus, $f$ est continue sur le segment $[0,A]$. Elle y est bornée. Soit $M_0$ tel que $|f(x)|\leq M_0$ pour tout $x\in[0,A]$. Alors, en posant $M=\max(M_0,|a|+1)$, on a $|f(x)|\leq M$ pour tout $x\in[0,+\infty[$.

Notons $l$ la limite de $|f|$ en $+\infty$. On distingue deux cas. D'une part, si $l=0$, alors on va prouver que $f$ tend aussi vers $0$ en $+\infty$. C'est assez facile. En effet, $$|f(x)-0|=|f(x)|\to 0\textrm{ quand }x\to +\infty.$$ On suppose maintenant que $l$ est non-nul, c'est-à-dire $l>0$. Ce cas est nettement plus difficile. On va prouver que $f$ converge vers $l$ ou que $f$ converge vers $-l$. Prenons $\veps>0$, supposons le tel que $\veps<l/2$, et écrivons que $|f|$ converge vers $l$ en $+\infty$. Il existe donc $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, $$ l-\veps<|f(x)|<l+\veps.$$ En particulier, pour $x\geq A$, on a $$-l-\veps<f(x)<-l+\veps\textrm{ ou }l-\veps<f(x)<l+\veps.$$ Si on est toujours dans le premier cas, on a gagné ($f(x)$ tend vers $-l$ quand $x$ tend vers $+\infty$), et si on est toujours dans le deuxième cas, aussi. Sinon, il existe $x_1>A$ et il existe $x_2>A$ tel que $$-l-\veps<f(x_1)<-l+\veps\textrm{ et }l-\veps<f(x_2)<l+\veps.$$ En particulier, comme on a choisi $\veps$ assez petit, on a $$f(x_1)<0\textrm{ et }f(x_2)>0.$$ On peut alors appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $f$ entre $x_1$ et $x_2$ pour trouver $x_3>A$ tel que $f(x_3)=0$. Mais ceci contredit que, pour tout $x\geq A$, $$ l-\veps<|f(x)|<l+\veps.$$ C'est donc qu'on est ou bien toujours dans le premier cas, ou bien toujours dans le deuxième cas.
On pourra, à titre d'entraînement, vérifier que le résultat reste vrai si $\lim_{x\to+\infty}|f(x)|=+\infty$.