Enigmes et raisonnements mathématiques

  On va d'abord recouvrir le carré par 25 cercles de rayon 1cm. Pour cela, on peut commencer par remarquer que $5\times\sqrt 2>7$. Ainsi, on peut recouvrir le carré de côté 7cm par $5\times 5=25$ carrés de côté $\sqrt 2cm$. Les cercles circonscrits à ces carrés recouvrent le grand carré, et sont de rayon exactement égal à 1cm.

  Maintenant, si aucun de ces cercles ne contient 3 points, alors ils en contiennent tous au plus 2, et il y aurait au plus $2\times 25=50$ points, ce qui n'est pas le cas!

    C'est une application du très sérieux principe des tiroirs. Voilà comment procéder. On prend les 400 000 premières femmes. Au pire, elles ont toutes un nombre différent de cheveux, on les range donc dans "un tiroir" étiqueté par leur nombre de cheveux. Prenons maintenant la 400 001ème. Come tous les tiroirs sont déjà occupés, elles seront deux au moins à posséder le même nombre de cheveux. Au pire encore, toutes les femmes entre 400 001 et 800 000 ont un nombre différent de cheveux, et elles seront deux dans chaque tiroir. Toujours en raisonnant ainsi, pour classer jusque 1 200 000, on en met trois dans chaque tiroir, puis jusque 1 500 000, 4 dans 300 000 tiroirs, et 3 dans les 100 000 autres. Il y a donc au moins 4 femmes à Paris qui ont le même nombre de cheveux!

Au premier tour, Nérosson fait 400 mètres et « Virginie » 385. Donc la vitesse de Nérosson est égale à 400/385 = 1,0389 fois celle de Virginie.
Au second tour, pour que les deux fassent jeu égal, il faudrait que la vitesse de Nérosson soit 415/400 = 1,0375 fois celle de Virginie.
Le deuxième rapport étant inférieur au premier, il est évident que, si chacun d'eux conserve la même vitesse qu'au premier tour, Nérosson devait fatalement gagner.

  Notons $N$ le nombre de participants à la soirée. Imaginons par l'absurde que chacun a serré un nombre différent de mains. Comme chacun serre entre 0 et $N-1$ mains, tous ces nombres doivent être pris. Il y aura donc un élève qui aura serré $N-1$ mains, un élève qui aura serré $N-2$ mains, .., un élève qui aura serré 2 mains, un élève qui aura serré 1 main et enfin un élève qui aura serré 0 main.

  Or, ceci est absurde car l'élève qui a serré $N-1$ mains a serré la main de tous les anciens élèves, il n'y a donc personne qui a serré 0 main.

  Imaginons qu'il y ait n pays. Le nombre de voisins de chaque pays est donc inférieur ou égal à n-1. Si tous les pays ont un nombre de voisins différents, alors il est nécessaire que Mais alors, il y a au moins n+1 pays : le pays noté n, ses n-1 voisins, et l'ile qui n'a pas de voisins. C'est impossible!

Le raisonnement est un classique du genre :   Or, 1024>1000, donc, d'après le principe des tiroirs, il y a obligatoirement deux sous-ensembles dont la somme des éléments est identique. Ils ne sont pas nécessairement disjoints, mais ce n'est pas grave, car il suffit d'enlever les éléments communs aux deux ensembles pour résoudre le problème.

Solution par Thadrien…

On va appliquer une méthode d'approximation successive de la solution, qui ressemble à l'étude des suites récurrentes en mathématiques (ou au théorème du point fixe). Pour cela, on va partir d'une solution approchée, puis on va la corriger de proche en proche jusqu'à obtenir une solution exacte. On commence donc par remplir les pointillés de sorte que le texte soit exact avec les chiffres déjà écrits. On a donc:

Bien sûr, la solution n'est pas exacte, car on a écrit trop de fois le chiffre 1. On corrige alors les nombres écrits pour que cela corresponde à la version actuelle du tableau. On obtient le nouveau tableau :

Ce n'est toujours pas une solution (le chiffre 7 apparait deux fois). On corrige et on trouve :

Ce n'est toujours pas une solution (on a fait apparaitre une fois de moins le chiffre 1, une fois de plus le chiffre 2). On corrige et on trouve :

Cela ne correspond toujours pas, il faut encore faire une correction :

Victoire! Cette fois, cela fonctionne!

Enigme brillamment résolue par Matou sur notre forum.

Non, il ne restera plus aucun scarabée. Pour cela, nous allons utiliser un raisonnement mathématique connu sous le nom de principe de réflexion. Supposons que chaque scarabée porte un drapeau, et que lorsque deux scarabées se rencontrent, ils échangent de drapeaux. Alors chaque drapeau avance à une vitesse constante de 1cm par seconde, toujours dans la même direction. Si le drapeau ne quitte pas la règle pendant une heure, il parcourt 3600cm, ce qui est plus que les 10m=1000cm de la règle. Donc chaque drapeau tombe de la règle. Or, à un instant donné, chaque scarabée porte un drapeau (pas nécessairement le sien). Si tous les drapeaux sont tombés, c'est aussi le cas de tous les scarabées.

Remarquons que ce raisonnement est valable même s'il y a 30, 50 ou 100 scarabées : peu importe leur nombre!