Voici quelques énigmes où il faudra peser des objets ou partages des quantités...
Le bijoutier de la place Vendôme
Un joailler de la place Vendôme présente à Carlita neuf pierres précieuses. Enfin, précieuses, pas tout à fait! L'une des pierres est fausse, et elle est plus lourde que les autres. Combien de pesées avec une balance à deux plateaux faudra-t-il à Carlita pour déterminer cette pierre?
Il lui en faudra uniquement deux. Carlita commence par construire deux lots de 3 pierres. Elle compare avec la balance le poids de ces deux lots. Si l'un est plus lourd que l'autre, c'est que la fausse pierre se trouve dans ce lot. Sinon, la pierre la plus lourde se trouve dans les 3 pierres restantes. Ainsi, après cette première pesée, Carlita a isolé un lot de 3 pierres dans lequel se trouve la fausse pierre.
Carlita choisit alors deux de ces trois pierres et compare leur poids. Si l'une est plus lourde que l'autre, c'est la fausse pierre. Sinon, la fausse pierre est la troisième pierre.
Les bidons
Je suis face à une fontaine qui débite sans arrêt. J'ai en ma possession un bidon de 3 litres, et un qui contient 5 litres.
Je dois obtenir 4 litres. Comment puis-je faire?
Je remplis le bidon de 5 litres et j'en verse 3 dans celui de trois litres. Il me reste donc 2 litres dans le bidon de 5 l.
Je vide le bidon de 3 litres et je verse les deux litres dans ce bidon.
Le bidon de 5 litres est vide ; je le remplis de 5 litres d'eau et je complète le bidon de 3 l qui en contient déjà deux. Il me reste donc 4 litres dans le bidon de 5 litres.
Les comprimés
Dans un laboratoire, dix bouteilles identiques censées
être remplies de comprimés d'un produit A sont rangées
sur une étagère. Chaque comprimé pèse 1g.
Mais une boîte de comprimés B, à la forme exactement
identiques, mais pesant 0,9g, s'est mélée. On dispose
d'une balance de précision, au décigramme près.
Combien vous faudra-t-il de pesées
pour déterminer la bouteille aux comprimés B??
Une seule pesée suffit! On dispose en effet sur
un balance un comprimé de la première bouteille, deux
comprimés de la deuxième, trois de la troisième,
et ainsi de suite... Si tous les comprimés étaient A,
on trouverait 1+2+...+10=55. Mais si la première bouteille est
celle des mauvais comprimés, on trouve 54,9, si elle provient
du second 54,8, et ainsi de suite... Il suffit de regarder donc le nombre
de décigrammes en moins de 55 pour trouver le résultat.
La fausse pièce, et la balance de Roberval
Vous avez 12 pièces, d'apparence identique, mais l'une est fausse.
Vous savez que son poids est différent des autres, mais vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère.
Vous disposez aussi d'une balance de Roberval (à deux plateaux).
Combien vous faut-il de pesées pour déterminer quelle est la fausse pièce?
Il suffit de trois pesées. Voici une méthode. On regroupe les douze pièces en trois paquets : le premier contient les pièces 1, 2, 3, et 4, le second, les pièces 5, 6, 7 et 8 et le troisième, les pièces 9, 10, 11 et 12. Pour la première pesée, on compare le poids du paquet #1 avec le poids du paquet #2.
Hypothèse 1 : #1 plus lourd que #2. Pour la seconde pesée, on compare (1,2,5) et (3,4,6).
Hypothèse 1.1 : le paquet (1,2,5) est plus lourd que le paquet (3,4,6). Dans ce cas, ou bien 1 ou 2 sont plus lourdes, ou bien 6 est plus légère.
Pour la troisième pesée, on compare 1 et 2.
Soit le poids est différent, et dans ce cas la pièce la plus lourde est la fausse pièce, sinon c'est 6 qui est la fausse pièce (plus légère).
Hypothèse 1.2 : le paquet (1,2,5) est plus léger que le paquet (3,4,6). Alors ou bien 5 est plus légère ou bien 3 ou 4 est plus lourde. On procède comme ci-dessus.
Hypothèse 1.3 : le paquet (1,2,5) a le même poids que le paquet (3,4,6). Dans ce cas, la fausse pièce est dans 7,8.
On l'identifie facilement en une pesée, en comparant par exemple le poids de 7 et de 1.
Hypothèse 2 : #1 a le même poids que #2, la pièce recherchée est dans #3.
Pour la seconde pesée, on compare (1,9) et (10, 11).
Hypothèse 2.1 : (1, 9) plus lourd que (10, 11) donc soit 9 est + lourde, soit 10 ou 11 est + légère. On n'a plus que les pièces (9,10,11) et on procède comme dans l'hypothèse 1.1.
Hypothèse 2.2 : (1,9) est plus léger que (10,11) donc soit 9 est plus léger, soit 10 ou 11 est plus lourd. On peut toujours faire comme ci-dessus.
Hypothèse 2.3 : (1,9) a le même poids que (10,11) donc c'est 12 qui est la fausse pièce. On détermine en une pesée si elle est plus lourde ou plus légère que les autres.
Hypothèse 3 : le paquet #1 est plus léger que le paquet #2. On permute les paquets et on se ramène à l'hypothèse 1.
