Énigmes de pesée et de partage

Il lui en faudra uniquement deux. Carlita commence par construire deux lots de 3 pierres. Elle compare avec la balance le poids de ces deux lots. Si l'un est plus lourd que l'autre, c'est que la fausse pierre se trouve dans ce lot. Sinon, la pierre la plus lourde se trouve dans les 3 pierres restantes. Ainsi, après cette première pesée, Carlita a isolé un lot de 3 pierres dans lequel se trouve la fausse pierre.

Carlita choisit alors deux de ces trois pierres et compare leur poids. Si l'une est plus lourde que l'autre, c'est la fausse pierre. Sinon, la fausse pierre est la troisième pierre.

Je remplis le bidon de 5 litres et j'en verse 3 dans celui de trois litres. Il me reste donc 2 litres dans le bidon de 5 litres. Je vide le bidon de 3 litres et je verse les deux litres dans ce bidon. Le bidon de 5 litres est vide ; je le remplis de 5 litres d'eau et je complète le bidon de 3 litres qui en contient déjà deux. Il me reste donc 4 litres dans le bidon de 5 litres.

Une seule pesée suffit! On dispose en effet sur un balance un comprimé de la première bouteille, deux comprimés de la deuxième, trois de la troisième, et ainsi de suite... Si tous les comprimés étaient A, on trouverait 1+2+...+10=55. Mais si la première bouteille est celle des mauvais comprimés, on trouve 54,9, si elle provient du second 54,8, et ainsi de suite... Il suffit de regarder donc le nombre de décigrammes en moins de 55 pour trouver le résultat.

Il suffit de trois pesées. Voici une méthode. On regroupe les douze pièces en trois paquets : le premier contient les pièces 1, 2, 3, et 4, le second, les pièces 5, 6, 7 et 8 et le troisième, les pièces 9, 10, 11 et 12. Pour la première pesée, on compare le poids du paquet #1 avec le poids du paquet #2.

Il suffit d'avoir des tares valant 1kg et 3kg. Il est facile de voir comment mesurer une masse de 1kg ou de 3kg, on mesure une masse de 2kg en lui ajoutant la tare de 1kg sur le même plateau et en mettant la tare de 3kg sur l'autre plateau. Enfin, on mesure une masse de 4kg en mettant les deux tares sur l'autre plateau.

Réfléchissons pour le deuxième cas, qui va nous donner l'idée à adopter pour la suite. Soit $m$ la masse (en kg) de la tare que l'on rajoute. Alors on va pouvoir peser toutes les objet ayant une masse comprise entre $m-4$ et $m+4$ :

Ainsi, pour conclure, il faut trouver une masse $m$ telle que $m-4=5$ (la première masse entière qu'on ne savait pas peser). On ajoute donc une tare de $9$kg, et on peut bien mesurer jusqu'à $13$kg.

En continuant ainsi, avec 4 tares, le choix optimal est d'ajouter une tare ayant une masse $m$ telle que $m-13=14,$ soit $m=27$kg. On mesure alors jusqu'à $40$kg. Puis pour la cinquième tare, on la choisit de sorte que $m-40=41$ soit $m=81$kg. On peut mesurer toutes les masses entières entre $1$ et $121$kg.

On peut étendre le raisonnement et donner facilement une formule de récurrence pour la suite $(u_n)$, où $u_n$ est telle qu'on peut mesurer toutes les masses entières comprises entre $1$ et $u_n$kg avec $n$ tares. Sur le forum, cailloux a proposé la méthode suivante :

Pour $n$ tares, on peut coder leur répartition sur les plateaux de la balance avec une somme de ces tares affectées des coefficients $0$, $1$ ou $-1$ suivant que la tare est non utilisée ou qu'elle est sur l'un ou l'autre plateau. On obtient $3^n$ possibilités pour cette somme nombre auquel il faut retrancher $1$ (la répartition $0,0,\cdots ,0$ qui ne pèse que du vent) et diviser par deux (les plateaux jouant des rôles symétriques). Donc au maximum $\dfrac{3^n-1}{2}$ répartitions qui correspondent, si les poids résultants sont distincts, au nombre maximum de kg que l'on peut peser. Or $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=\dfrac{3^n-1}{2}$ et pour chaque poids entre 1 et $\dfrac{3^{n}-1}{2}$ kg, son écriture en base $3$ est unique. Bref, des tares en puissances de 3 maximisent le nombre de poids que l'on peut mesurer. Pour $n=5$ on peut mesurer au maximum de 1 à 121 kg avec des tares de 1,3,9,27 et 81 kg.